Номер 13.21, страница 90, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Вычислите.

13.21. a) $tg \frac{5\pi}{4};$

б) $ctg \frac{4\pi}{3};$

В) $tg \frac{5\pi}{6};$

Г) $ctg \frac{7\pi}{4}.$

а)

Чтобы вычислить значение $\text{tg}\frac{5\pi}{4}$, воспользуемся свойством периодичности тангенса. Период тангенса равен $\pi$.

Представим угол $\frac{5\pi}{4}$ в виде суммы $\pi$ и другого угла:

$\frac{5\pi}{4} = \frac{4\pi + \pi}{4} = \pi + \frac{\pi}{4}$

Используем формулу приведения $\text{tg}(\pi + \alpha) = \text{tg}(\alpha)$:

$\text{tg}\frac{5\pi}{4} = \text{tg}(\pi + \frac{\pi}{4}) = \text{tg}(\frac{\pi}{4})$

Значение тангенса угла $\frac{\pi}{4}$ является табличным:

$\text{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1$

Ответ: 1

б)

Для вычисления значения $\text{ctg}\frac{4\pi}{3}$ воспользуемся свойством периодичности котангенса. Период котангенса, как и тангенса, равен $\pi$.

Представим угол $\frac{4\pi}{3}$ в виде суммы:

$\frac{4\pi}{3} = \frac{3\pi + \pi}{3} = \pi + \frac{\pi}{3}$

Используем формулу приведения $\text{ctg}(\pi + \alpha) = \text{ctg}(\alpha)$:

$\text{ctg}\frac{4\pi}{3} = \text{ctg}(\pi + \frac{\pi}{3}) = \text{ctg}(\frac{\pi}{3})$

Значение котангенса угла $\frac{\pi}{3}$ является табличным:

$\text{ctg}(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$

в)

Для вычисления значения $\text{tg}\frac{5\pi}{6}$ применим формулы приведения.

Представим угол $\frac{5\pi}{6}$ в виде разности:

$\frac{5\pi}{6} = \frac{6\pi - \pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{6}$

Используем формулу приведения $\text{tg}(\pi - \alpha) = -\text{tg}(\alpha)$:

$\text{tg}\frac{5\pi}{6} = \text{tg}(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\text{tg}(\frac{\pi}{6})$

Табличное значение тангенса угла $\frac{\pi}{6}$:

$\text{tg}(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Следовательно:

$\text{tg}\frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$

г)

Для вычисления значения $\text{ctg}\frac{7\pi}{4}$ применим формулы приведения.

Представим угол $\frac{7\pi}{4}$ в виде разности:

$\frac{7\pi}{4} = \frac{8\pi - \pi}{4} = 2\pi - \frac{\pi}{4}$

Используем формулу приведения $\text{ctg}(2\pi - \alpha) = -\text{ctg}(\alpha)$:

$\text{ctg}\frac{7\pi}{4} = \text{ctg}(2\pi - \frac{\pi}{4}) = -\text{ctg}(\frac{\pi}{4})$

Табличное значение котангенса угла $\frac{\pi}{4}$:

$\text{ctg}(\frac{\pi}{4}) = 1$

Следовательно:

$\text{ctg}\frac{7\pi}{4} = -1$

Ответ: -1