Номер 13.16, страница 89, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

13.16. a) $sin t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

б) $cos t = \sqrt{3}$;

в) $cos t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

г) $sin t = -\frac{\pi}{3}$.

а)

Дано тригонометрическое уравнение $ \sin t = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $ \sin t = a $. Решение такого уравнения существует, если $ |a| \le 1 $.

В данном случае $ a = -\frac{\sqrt{3}}{2} $. Так как $ \sqrt{3} \approx 1.732 $, то $ a \approx -0.866 $. Условие $ |-0.866| \le 1 $ выполняется, следовательно, уравнение имеет решения.

Общая формула для решения уравнения $ \sin t = a $ имеет вид: $ t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $ (где $ \mathbb{Z} $ — множество целых чисел).

Найдем значение $ \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) $. Используем свойство нечетности функции арксинус: $ \arcsin(-x) = -\arcsin(x) $.

Так как $ \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $, то $ \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3} $.

Следовательно, $ \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3} $.

Подставляем найденное значение в общую формулу:

$ t = (-1)^n (-\frac{\pi}{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

Эту формулу можно записать как $ t = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ t = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

б)

Дано уравнение $ \cos t = \sqrt{3} $.

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $ \cos t = a $. Уравнение имеет решения только в том случае, если $ |a| \le 1 $, так как область значений функции косинус есть отрезок $ [-1, 1] $.

В данном случае $ a = \sqrt{3} $. Значение $ \sqrt{3} \approx 1.732 $, что больше 1.

Поскольку $ \sqrt{3} > 1 $, условие $ |a| \le 1 $ не выполняется. Следовательно, данное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

в)

Дано тригонометрическое уравнение $ \cos t = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $ \cos t = a $. Решение существует, если $ |a| \le 1 $.

В данном случае $ a = -\frac{\sqrt{3}}{2} $. Мы уже знаем, что $ |-\frac{\sqrt{3}}{2}| \le 1 $, поэтому решения существуют.

Общая формула для решения уравнения $ \cos t = a $ имеет вид: $ t = \pm \arccos(a) + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Найдем значение $ \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) $. Используем свойство арккосинуса: $ \arccos(-x) = \pi - \arccos(x) $.

Так как $ \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $, то $ \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6} $.

Следовательно, $ \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi - \pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $.

Подставляем найденное значение в общую формулу:

$ t = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ t = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

г)

Дано уравнение $ \sin t = -\frac{\pi}{3} $.

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $ \sin t = a $. Уравнение имеет решения только в том случае, если $ |a| \le 1 $, так как область значений функции синус есть отрезок $ [-1, 1] $.

В данном случае $ a = -\frac{\pi}{3} $. Используем приближенное значение $ \pi \approx 3.14159 $.

Тогда $ a \approx -\frac{3.14159}{3} \approx -1.047 $.

Поскольку $ -\frac{\pi}{3} < -1 $, условие $ |a| \le 1 $ не выполняется. Следовательно, данное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.