Номер 13.11, страница 89, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Определите знак числа:

13.11. a) $\sin \frac{4\pi}{7}$;

б) $\cos \left(-\frac{5\pi}{7}\right)$;

в) $\sin \frac{9\pi}{8}$;

г) $\sin \left(-\frac{3\pi}{8}\right)$.

Для определения знака тригонометрической функции необходимо определить, в какой координатной четверти находится угол. Знаки синуса и косинуса по четвертям:

• I четверть ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$): $\sin \alpha > 0$, $\cos \alpha > 0$
• II четверть ($\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$): $\sin \alpha > 0$, $\cos \alpha < 0$
• III четверть ($\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$): $\sin \alpha < 0$, $\cos \alpha < 0$
• IV четверть ($\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$): $\sin \alpha < 0$, $\cos \alpha > 0$

а) Чтобы определить знак числа $\sin\frac{4\pi}{7}$, найдем, в какой четверти лежит угол $\frac{4\pi}{7}$. Сравним это значение с границами четвертей: $\frac{\pi}{2}$ и $\pi$. Представим $\frac{\pi}{2}$ и $\pi$ со знаменателем 7: $\frac{\pi}{2} = \frac{3.5\pi}{7}$ и $\pi = \frac{7\pi}{7}$. Получаем неравенство: $\frac{3.5\pi}{7} < \frac{4\pi}{7} < \frac{7\pi}{7}$, то есть $\frac{\pi}{2} < \frac{4\pi}{7} < \pi$. Следовательно, угол $\frac{4\pi}{7}$ находится во второй координатной четверти. Синус во второй четверти положителен.
Ответ: плюс.

б) Чтобы определить знак числа $\cos(-\frac{5\pi}{7})$, воспользуемся свойством четности косинуса: $\cos(-x) = \cos(x)$. Следовательно, $\cos(-\frac{5\pi}{7}) = \cos(\frac{5\pi}{7})$. Теперь определим, в какой четверти лежит угол $\frac{5\pi}{7}$. Сравним это значение с $\frac{\pi}{2}$ и $\pi$. $\frac{\pi}{2} = \frac{3.5\pi}{7}$ и $\pi = \frac{7\pi}{7}$. Получаем неравенство: $\frac{3.5\pi}{7} < \frac{5\pi}{7} < \frac{7\pi}{7}$, то есть $\frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{7} < \pi$. Следовательно, угол $\frac{5\pi}{7}$ находится во второй координатной четверти. Косинус во второй четверти отрицателен.
Ответ: минус.

в) Чтобы определить знак числа $\sin\frac{9\pi}{8}$, найдем, в какой четверти лежит угол $\frac{9\pi}{8}$. Сравним это значение с $\pi$ и $\frac{3\pi}{2}$. Представим $\pi$ и $\frac{3\pi}{2}$ со знаменателем 8: $\pi = \frac{8\pi}{8}$ и $\frac{3\pi}{2} = \frac{12\pi}{8}$. Получаем неравенство: $\frac{8\pi}{8} < \frac{9\pi}{8} < \frac{12\pi}{8}$, то есть $\pi < \frac{9\pi}{8} < \frac{3\pi}{2}$. Следовательно, угол $\frac{9\pi}{8}$ находится в третьей координатной четверти. Синус в третьей четверти отрицателен.
Ответ: минус.

г) Чтобы определить знак числа $\sin(-\frac{3\pi}{8})$, воспользуемся свойством нечетности синуса: $\sin(-x) = -\sin(x)$. Следовательно, $\sin(-\frac{3\pi}{8}) = -\sin(\frac{3\pi}{8})$. Определим знак $\sin(\frac{3\pi}{8})$. Для этого найдем, в какой четверти лежит угол $\frac{3\pi}{8}$. Сравним это значение с $0$ и $\frac{\pi}{2}$. Представим $\frac{\pi}{2}$ со знаменателем 8: $\frac{\pi}{2} = \frac{4\pi}{8}$. Получаем неравенство: $0 < \frac{3\pi}{8} < \frac{4\pi}{8}$, то есть $0 < \frac{3\pi}{8} < \frac{\pi}{2}$. Следовательно, угол $\frac{3\pi}{8}$ находится в первой координатной четверти, где синус положителен. Так как $\sin(\frac{3\pi}{8}) > 0$, то $\sin(-\frac{3\pi}{8}) = -\sin(\frac{3\pi}{8})$ будет отрицательным числом.
Ответ: минус.