Номер 13.10, страница 89, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

13.10. a) $\frac{15}{2|\sin t| + 3}$;

б) $\sqrt{7\cos^2 t + 9}$;

B) $\frac{1}{3\sin^2 t + 4\cos^2 t}$;

Г) $\frac{5\sin^2 t + 5\cos^2 t}{3|\cos t| + 2}$.

а)

Требуется найти множество значений выражения $\frac{15}{2|\sin t| + 3}$.
Сначала оценим значение выражения в знаменателе. Известно, что область значений функции синус: $-1 \le \sin t \le 1$.
Следовательно, для модуля синуса справедливо двойное неравенство: $0 \le |\sin t| \le 1$.
Умножим все части неравенства на 2:
$2 \cdot 0 \le 2|\sin t| \le 2 \cdot 1$
$0 \le 2|\sin t| \le 2$
Прибавим ко всем частям неравенства 3:
$0 + 3 \le 2|\sin t| + 3 \le 2 + 3$
$3 \le 2|\sin t| + 3 \le 5$
Знаменатель $2|\sin t| + 3$ принимает все значения из отрезка $[3, 5]$.
Исходное выражение представляет собой дробь с постоянным числителем. Такая функция является убывающей относительно своего знаменателя. Это означает, что наименьшему значению знаменателя соответствует наибольшее значение дроби, и наоборот.
Наибольшее значение выражения: $\frac{15}{3} = 5$.
Наименьшее значение выражения: $\frac{15}{5} = 3$.
Таким образом, множество значений исходного выражения — это отрезок $[3, 5]$.
Ответ: $[3, 5]$.

б)

Требуется найти множество значений выражения $\sqrt{7\cos^2 t + 9}$.
Сначала оценим значение подкоренного выражения $7\cos^2 t + 9$.
Известно, что область значений функции косинус: $-1 \le \cos t \le 1$.
Следовательно, для квадрата косинуса справедливо неравенство: $0 \le \cos^2 t \le 1$.
Умножим все части неравенства на 7:
$7 \cdot 0 \le 7\cos^2 t \le 7 \cdot 1$
$0 \le 7\cos^2 t \le 7$
Прибавим ко всем частям неравенства 9:
$0 + 9 \le 7\cos^2 t + 9 \le 7 + 9$
$9 \le 7\cos^2 t + 9 \le 16$
Подкоренное выражение принимает все значения из отрезка $[9, 16]$.
Функция $y = \sqrt{x}$ является возрастающей для неотрицательных $x$. Поэтому для нахождения множества значений исходного выражения нужно извлечь квадратный корень из границ отрезка $[9, 16]$.
Наименьшее значение выражения: $\sqrt{9} = 3$.
Наибольшее значение выражения: $\sqrt{16} = 4$.
Таким образом, множество значений исходного выражения — это отрезок $[3, 4]$.
Ответ: $[3, 4]$.

в)

Требуется найти множество значений выражения $\frac{1}{3\sin^2 t + 4\cos^2 t}$.
Сначала упростим выражение в знаменателе, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$.
$3\sin^2 t + 4\cos^2 t = 3\sin^2 t + (3+1)\cos^2 t = 3\sin^2 t + 3\cos^2 t + \cos^2 t = 3(\sin^2 t + \cos^2 t) + \cos^2 t = 3 \cdot 1 + \cos^2 t = 3 + \cos^2 t$.
Теперь оценим значение полученного выражения в знаменателе.
Известно, что $0 \le \cos^2 t \le 1$.
Прибавим 3 ко всем частям неравенства:
$0 + 3 \le 3 + \cos^2 t \le 1 + 3$
$3 \le 3 + \cos^2 t \le 4$
Знаменатель принимает все значения из отрезка $[3, 4]$.
Так как числитель дроби равен 1, наименьшее значение дроби будет при наибольшем значении знаменателя, а наибольшее — при наименьшем.
Наименьшее значение выражения: $\frac{1}{4}$.
Наибольшее значение выражения: $\frac{1}{3}$.
Таким образом, множество значений исходного выражения — это отрезок $[\frac{1}{4}, \frac{1}{3}]$.
Ответ: $[\frac{1}{4}, \frac{1}{3}]$.

г)

Требуется найти множество значений выражения $\frac{5\sin^2 t + 5\cos^2 t}{3|\cos t| + 2}$.
Сначала упростим выражение в числителе, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$.
$5\sin^2 t + 5\cos^2 t = 5(\sin^2 t + \cos^2 t) = 5 \cdot 1 = 5$.
Исходное выражение принимает вид $\frac{5}{3|\cos t| + 2}$.
Теперь оценим значение выражения в знаменателе.
Известно, что $-1 \le \cos t \le 1$, следовательно, для модуля косинуса справедливо неравенство $0 \le |\cos t| \le 1$.
Умножим все части неравенства на 3:
$3 \cdot 0 \le 3|\cos t| \le 3 \cdot 1$
$0 \le 3|\cos t| \le 3$
Прибавим ко всем частям неравенства 2:
$0 + 2 \le 3|\cos t| + 2 \le 3 + 2$
$2 \le 3|\cos t| + 2 \le 5$
Знаменатель принимает все значения из отрезка $[2, 5]$.
Так как числитель дроби — постоянное положительное число, наименьшее значение дроби будет при наибольшем значении знаменателя, а наибольшее — при наименьшем.
Наименьшее значение выражения: $\frac{5}{5} = 1$.
Наибольшее значение выражения: $\frac{5}{2}$.
Таким образом, множество значений исходного выражения — это отрезок $[1, \frac{5}{2}]$.
Ответ: $[1, \frac{5}{2}]$.