Номер 13.6, страница 88, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

13.6. Найдите значение выражения:

а) $\cos 2t$, если $t = \frac{\pi}{2}$;

б) $\sin \frac{t}{2}$, если $t = -\frac{\pi}{3}$;

в) $\sin^2 t - \cos^2 t$, если $t = \frac{\pi}{4}$;

г) $\sin^2 t + \cos^2 t$, если $t = \frac{\pi}{6}$.

а) Чтобы найти значение выражения $\cos 2t$ при $t = \frac{\pi}{2}$, необходимо подставить данное значение $t$ в выражение:
$\cos(2t) = \cos(2 \cdot \frac{\pi}{2}) = \cos(\pi)$
Значение косинуса от $\pi$ равно -1.
$\cos(\pi) = -1$
Ответ: -1

б) Чтобы найти значение выражения $\sin \frac{t}{2}$ при $t = -\frac{\pi}{3}$, подставим значение $t$ в выражение:
$\sin(\frac{t}{2}) = \sin(\frac{-\pi/3}{2}) = \sin(-\frac{\pi}{6})$
Синус является нечетной функцией, что означает $\sin(-x) = -\sin(x)$. Следовательно:
$\sin(-\frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6})$
Табличное значение $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, поэтому:
$-\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$
Ответ: $-\frac{1}{2}$

в) Чтобы найти значение выражения $\sin^2 t - \cos^2 t$ при $t = \frac{\pi}{4}$, можно воспользоваться двумя способами.
Способ 1: Прямая подстановка.
$\sin^2(\frac{\pi}{4}) - \cos^2(\frac{\pi}{4}) = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 - (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} - \frac{2}{4} = 0$
Способ 2: Использование тригонометрической формулы.
Известно, что $\cos(2t) = \cos^2 t - \sin^2 t$. Тогда исходное выражение равно $-\cos(2t)$.
$\sin^2 t - \cos^2 t = -(\cos^2 t - \sin^2 t) = -\cos(2t)$
Подставим $t = \frac{\pi}{4}$:
$-\cos(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = -\cos(\frac{\pi}{2}) = -0 = 0$
Ответ: 0

г) Выражение $\sin^2 t + \cos^2 t$ представляет собой основное тригонометрическое тождество, которое равно 1 для любого значения $t$.
$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$
Следовательно, при $t = \frac{\pi}{6}$ значение выражения также будет равно 1.
Для проверки можно выполнить подстановку:
$\sin^2(\frac{\pi}{6}) + \cos^2(\frac{\pi}{6}) = (\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{4}{4} = 1$
Ответ: 1