Номер 13.12, страница 89, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

13.12. а) $sin(-2);$

б) $cos 3;$

в) $sin 5;$

г) $cos (-6).$

Для определения знака тригонометрических функций необходимо определить, в какой координатной четверти находится угол, заданный в радианах. Мы будем использовать приближенное значение $\pi \approx 3.14$.

Координатные четверти для угла $\alpha$ в радианах определяются следующими неравенствами:

• I четверть: $0 < \alpha < \pi/2$ ( $0 < \alpha < 1.57$ )
• II четверть: $\pi/2 < \alpha < \pi$ ( $1.57 < \alpha < 3.14$ )
• III четверть: $\pi < \alpha < 3\pi/2$ ( $3.14 < \alpha < 4.71$ )
• IV четверть: $3\pi/2 < \alpha < 2\pi$ ( $4.71 < \alpha < 6.28$ )

Знаки синуса и косинуса по четвертям:

• sin($\alpha$): > 0 в I и II четвертях, < 0 в III и IV четвертях.
• cos($\alpha$): > 0 в I и IV четвертях, < 0 во II и III четвертях.

а) $\sin(-2)$

Функция синус является нечетной, поэтому $\sin(-x) = -\sin(x)$. Следовательно, $\sin(-2) = -\sin(2)$.

Определим знак $\sin(2)$. Сравним угол 2 радиана с границами четвертей:$\pi/2 \approx 1.57$ и $\pi \approx 3.14$.Поскольку $1.57 < 2 < 3.14$, то есть $\pi/2 < 2 < \pi$, угол 2 радиана находится во II координатной четверти.Во II четверти синус положителен, значит, $\sin(2) > 0$.Тогда $\sin(-2) = -\sin(2)$ будет отрицательным. $\sin(-2) < 0$.

Ответ: минус.

б) $\cos(3)$

Определим, в какой четверти находится угол 3 радиана.Сравним с границами четвертей: $\pi/2 \approx 1.57$ и $\pi \approx 3.14$.Поскольку $1.57 < 3 < 3.14$, то есть $\pi/2 < 3 < \pi$, угол 3 радиана находится во II координатной четверти.Во II четверти косинус отрицателен, значит, $\cos(3) < 0$.

Ответ: минус.

в) $\sin(5)$

Определим, в какой четверти находится угол 5 радиан.Сравним с границами четвертей: $3\pi/2 \approx 3 \cdot 3.14 / 2 = 4.71$ и $2\pi \approx 2 \cdot 3.14 = 6.28$.Поскольку $4.71 < 5 < 6.28$, то есть $3\pi/2 < 5 < 2\pi$, угол 5 радиан находится в IV координатной четверти.В IV четверти синус отрицателен, значит, $\sin(5) < 0$.

Ответ: минус.

г) $\cos(-6)$

Функция косинус является четной, поэтому $\cos(-x) = \cos(x)$. Следовательно, $\cos(-6) = \cos(6)$.

Определим знак $\cos(6)$. Сравним угол 6 радиан с границами четвертей:$3\pi/2 \approx 4.71$ и $2\pi \approx 6.28$.Поскольку $4.71 < 6 < 6.28$, то есть $3\pi/2 < 6 < 2\pi$, угол 6 радиан находится в IV координатной четверти.В IV четверти косинус положителен, значит, $\cos(6) > 0$.Следовательно, $\cos(-6) > 0$.

Ответ: плюс.