Номер 13.14, страница 89, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

13.14. a) $\sin 1 \cdot \cos 2;$

б) $\sin \frac{\pi}{7} \cdot \cos \left(-\frac{7\pi}{5}\right);$

В) $\cos 2 \cdot \sin (-3);$

Г) $\cos \left(-\frac{14\pi}{9}\right) \cdot \sin \left(-\frac{4\pi}{9}\right).$

а) $\sin 1 \cdot \cos 2$

Чтобы определить знак данного произведения, необходимо определить знак каждого сомножителя. Аргументы тригонометрических функций даны в радианах. Для определения четверти, в которой находится угол, воспользуемся приближенным значением $\pi \approx 3,14$.

1. Определим знак $\sin 1$.
Угол в 1 радиан находится между $0$ и $\frac{\pi}{2} \approx \frac{3,14}{2} = 1,57$. Так как $0 < 1 < \frac{\pi}{2}$, угол 1 радиан принадлежит I четверти. Синус в I четверти положителен, следовательно, $\sin 1 > 0$.

2. Определим знак $\cos 2$.
Угол в 2 радиана находится между $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$ и $\pi \approx 3,14$. Так как $\frac{\pi}{2} < 2 < \pi$, угол 2 радиана принадлежит II четверти. Косинус во II четверти отрицателен, следовательно, $\cos 2 < 0$.

3. Произведение положительного числа на отрицательное есть число отрицательное.
$\sin 1 \cdot \cos 2 > 0 \cdot (<0) < 0$.
Таким образом, данное выражение отрицательно.
Ответ: выражение отрицательно.

б) $\sin \frac{\pi}{7} \cdot \cos \left(-\frac{7\pi}{5}\right)$

1. Определим знак $\sin \frac{\pi}{7}$.
Так как $0 < \frac{\pi}{7} < \frac{\pi}{2}$, угол $\frac{\pi}{7}$ принадлежит I четверти. Синус в I четверти положителен, следовательно, $\sin \frac{\pi}{7} > 0$.

2. Определим знак $\cos \left(-\frac{7\pi}{5}\right)$.
Воспользуемся свойством четности функции косинус: $\cos(-x) = \cos(x)$.
$\cos \left(-\frac{7\pi}{5}\right) = \cos \left(\frac{7\pi}{5}\right)$.
Теперь определим, в какой четверти находится угол $\frac{7\pi}{5}$.
$\pi = \frac{5\pi}{5}$ и $\frac{3\pi}{2} = \frac{7,5\pi}{5}$.
Так как $\pi < \frac{7\pi}{5} < \frac{3\pi}{2}$, угол $\frac{7\pi}{5}$ принадлежит III четверти. Косинус в III четверти отрицателен, следовательно, $\cos \left(\frac{7\pi}{5}\right) < 0$.

3. Произведение положительного числа на отрицательное есть число отрицательное.
$\sin \frac{\pi}{7} \cdot \cos \left(-\frac{7\pi}{5}\right) > 0 \cdot (<0) < 0$.
Таким образом, данное выражение отрицательно.
Ответ: выражение отрицательно.

в) $\cos 2 \cdot \sin(-3)$

1. Определим знак $\cos 2$.
Как было показано в пункте а), угол 2 радиана принадлежит II четверти, где косинус отрицателен. Следовательно, $\cos 2 < 0$.

2. Определим знак $\sin(-3)$.
Воспользуемся свойством нечетности функции синус: $\sin(-x) = -\sin(x)$.
$\sin(-3) = -\sin(3)$.
Угол в 3 радиана находится между $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$ и $\pi \approx 3,14$. Так как $\frac{\pi}{2} < 3 < \pi$, угол 3 радиана принадлежит II четверти. Синус во II четверти положителен, то есть $\sin 3 > 0$.
Следовательно, $\sin(-3) = -\sin(3) < 0$.

3. Произведение двух отрицательных чисел есть число положительное.
$\cos 2 \cdot \sin(-3) < 0 \cdot (<0) > 0$.
Таким образом, данное выражение положительно.
Ответ: выражение положительно.

г) $\cos \left(-\frac{14\pi}{9}\right) \cdot \sin \left(-\frac{4\pi}{9}\right)$

1. Определим знак $\cos \left(-\frac{14\pi}{9}\right)$.
Так как косинус — четная функция, $\cos \left(-\frac{14\pi}{9}\right) = \cos \left(\frac{14\pi}{9}\right)$.
Определим, в какой четверти находится угол $\frac{14\pi}{9}$.
$\frac{3\pi}{2} = \frac{13,5\pi}{9}$ и $2\pi = \frac{18\pi}{9}$.
Так как $\frac{3\pi}{2} < \frac{14\pi}{9} < 2\pi$, угол $\frac{14\pi}{9}$ принадлежит IV четверти. Косинус в IV четверти положителен, следовательно, $\cos \left(-\frac{14\pi}{9}\right) > 0$.

2. Определим знак $\sin \left(-\frac{4\pi}{9}\right)$.
Так как синус — нечетная функция, $\sin \left(-\frac{4\pi}{9}\right) = -\sin \left(\frac{4\pi}{9}\right)$.
Определим, в какой четверти находится угол $\frac{4\pi}{9}$.
$\frac{\pi}{2} = \frac{4,5\pi}{9}$.
Так как $0 < \frac{4\pi}{9} < \frac{\pi}{2}$, угол $\frac{4\pi}{9}$ принадлежит I четверти. Синус в I четверти положителен, то есть $\sin \left(\frac{4\pi}{9}\right) > 0$.
Следовательно, $\sin \left(-\frac{4\pi}{9}\right) = -\sin \left(\frac{4\pi}{9}\right) < 0$.

3. Произведение положительного числа на отрицательное есть число отрицательное.
$\cos \left(-\frac{14\pi}{9}\right) \cdot \sin \left(-\frac{4\pi}{9}\right) > 0 \cdot (<0) < 0$.
Таким образом, данное выражение отрицательно.
Ответ: выражение отрицательно.