Номер 13.20, страница 90, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

13.20. Имеет ли смысл выражение:

a) $\sqrt{\sin 10,2\pi}$;

б) $\sqrt{\cos 1,3\pi}$;

в) $\sqrt{\sin (-3,4\pi)}$;

г) $\sqrt{\cos (-6,9\pi)}$?

Для того чтобы выражение $\sqrt{A}$ имело смысл в области действительных чисел, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, то есть $A \ge 0$.

а) Выражение $\sqrt{\sin 10,2\pi}$ имеет смысл, если $\sin(10,2\pi) \ge 0$.
Функция синус является периодической с периодом $2\pi$. Упростим аргумент:
$10,2\pi = 10\pi + 0,2\pi = 5 \cdot 2\pi + 0,2\pi$.
Следовательно, $\sin(10,2\pi) = \sin(0,2\pi)$.
Угол $0,2\pi$ находится в первой координатной четверти, так как $0 < 0,2\pi < \frac{\pi}{2}$ (поскольку $0 < 0,2 < 0,5$).
Синус в первой четверти положителен, поэтому $\sin(0,2\pi) > 0$.
Так как подкоренное выражение положительно, выражение имеет смысл.
Ответ: имеет смысл.

б) Выражение $\sqrt{\cos 1,3\pi}$ имеет смысл, если $\cos(1,3\pi) \ge 0$.
Определим, в какой координатной четверти находится угол $1,3\pi$.
Сравним с границами четвертей: $\frac{\pi}{2} = 0,5\pi$, $\pi = 1\pi$, $\frac{3\pi}{2} = 1,5\pi$.
Поскольку $\pi < 1,3\pi < \frac{3\pi}{2}$, угол $1,3\pi$ находится в третьей четверти.
Косинус в третьей четверти отрицателен, поэтому $\cos(1,3\pi) < 0$.
Так как подкоренное выражение отрицательно, выражение не имеет смысла.
Ответ: не имеет смысла.

в) Выражение $\sqrt{\sin (-3,4\pi)}$ имеет смысл, если $\sin(-3,4\pi) \ge 0$.
Функция синус является нечетной, то есть $\sin(-x) = -\sin(x)$.
$\sin(-3,4\pi) = -\sin(3,4\pi)$.
Используем периодичность синуса: $3,4\pi = 2\pi + 1,4\pi$.
Значит, $\sin(3,4\pi) = \sin(1,4\pi)$.
Угол $1,4\pi$ находится в третьей четверти, так как $\pi < 1,4\pi < \frac{3\pi}{2}$.
Синус в третьей четверти отрицателен: $\sin(1,4\pi) < 0$.
Тогда $\sin(-3,4\pi) = -\sin(1,4\pi) > 0$.
Так как подкоренное выражение положительно, выражение имеет смысл.
Ответ: имеет смысл.

г) Выражение $\sqrt{\cos (-6,9\pi)}$ имеет смысл, если $\cos(-6,9\pi) \ge 0$.
Функция косинус является четной, то есть $\cos(-x) = \cos(x)$.
$\cos(-6,9\pi) = \cos(6,9\pi)$.
Используем периодичность косинуса: $6,9\pi = 6\pi + 0,9\pi = 3 \cdot 2\pi + 0,9\pi$.
Следовательно, $\cos(6,9\pi) = \cos(0,9\pi)$.
Угол $0,9\pi$ находится во второй четверти, так как $\frac{\pi}{2} < 0,9\pi < \pi$.
Косинус во второй четверти отрицателен, поэтому $\cos(0,9\pi) < 0$.
Так как подкоренное выражение отрицательно, выражение не имеет смысла.
Ответ: не имеет смысла.