Номер 13.17, страница 89, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

13.17. а) $10 \sin t = \sqrt{75}$;

б) $\sqrt{8} \sin t + 2 = 0$;

В) $8 \cos t - \sqrt{32} = 0$;

Г) $8 \cos t = -\sqrt{48}$.

а) $10 \sin t = \sqrt{75}$

Сначала разделим обе части уравнения на 10, чтобы выразить $\sin t$:

$\sin t = \frac{\sqrt{75}}{10}$

Упростим корень из 75, вынеся множитель из-под знака корня: $\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$.

Подставим упрощенное значение в уравнение и сократим дробь:

$\sin t = \frac{5\sqrt{3}}{10} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Решение для уравнения $\sin t = a$ имеет общий вид $t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Поскольку $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$, получаем общее решение:

$t = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\sqrt{8} \sin t + 2 = 0$

Сначала выразим $\sin t$ из уравнения. Для этого перенесем 2 в правую часть и разделим на $\sqrt{8}$:

$\sqrt{8} \sin t = -2$

$\sin t = -\frac{2}{\sqrt{8}}$

Упростим знаменатель: $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.

Подставим и сократим дробь:

$\sin t = -\frac{2}{2\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Общее решение уравнения $\sin t = a$ имеет вид $t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$, получаем:

$t = (-1)^n (-\frac{\pi}{4}) + \pi n = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) $8 \cos t - \sqrt{32} = 0$

Выразим $\cos t$ из уравнения. Перенесем $\sqrt{32}$ в правую часть и разделим на 8:

$8 \cos t = \sqrt{32}$

$\cos t = \frac{\sqrt{32}}{8}$

Упростим корень из 32: $\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$.

Подставим и сократим дробь:

$\cos t = \frac{4\sqrt{2}}{8} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Решение для $\cos t = a$ имеет общий вид $t = \pm \arccos(a) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Поскольку $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$, получаем общее решение:

$t = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) $8 \cos t = -\sqrt{48}$

Выразим $\cos t$ из уравнения, разделив обе части на 8:

$\cos t = -\frac{\sqrt{48}}{8}$

Упростим корень из 48: $\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$.

Подставим и сократим дробь:

$\cos t = -\frac{4\sqrt{3}}{8} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Общее решение уравнения $\cos t = a$ имеет вид $t = \pm \arccos(a) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Для нахождения $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2})$ используем формулу $\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$.

$\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Следовательно, получаем общее решение:

$t = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.