Номер 13.15, страница 89, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Решите уравнение:

13.15. a) $cos t = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

б) $sin t = -\frac{1}{2}$;

в) $cos t = -\frac{1}{2}$;

г) $sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

а) Решим уравнение $cos t = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения вида $cos t = a$ находится по формуле $t = \pm arccos(a) + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

В нашем случае $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Значение арккосинуса от $\frac{\sqrt{2}}{2}$ является табличным: $arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.

Подставим это значение в общую формулу решения:

$t = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Решим уравнение $sin t = -\frac{1}{2}$.

Общее решение для уравнения вида $sin t = a$ находится по формуле $t = (-1)^k arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $a = -\frac{1}{2}$.

Значение арксинуса от $-\frac{1}{2}$ является табличным: $arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$.

Подставим это значение в общую формулу:

$t = (-1)^k (-\frac{\pi}{6}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Это выражение можно преобразовать, вынеся минус из скобок: $t = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) Решим уравнение $cos t = -\frac{1}{2}$.

Используем ту же общую формулу, что и в пункте а): $t = \pm arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Здесь $a = -\frac{1}{2}$.

Для нахождения арккосинуса отрицательного числа используем свойство $arccos(-x) = \pi - arccos(x)$:

$arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - arccos(\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Подставим найденное значение в общую формулу:

$t = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) Решим уравнение $sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Используем ту же общую формулу, что и в пункте б): $t = (-1)^k arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Здесь $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Табличное значение арксинуса: $arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.

Подставим это значение в общую формулу:

$t = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.