Номер 13.18, страница 89, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

13.18. a) $\sin^2 \frac{\pi}{8} + \cos^2 \frac{\pi}{8} - \sqrt{2} \sin t = 0;$

б) $\sqrt{\frac{4}{3}} \cos t = \cos^2 1 + \sin^2 1.$

а) $ \sin^2\frac{\pi}{8} + \cos^2\frac{\pi}{8} - \sqrt{2} \sin t = 0 $

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $. Для любого угла $ \alpha $, сумма квадратов его синуса и косинуса равна единице. В данном уравнении $ \alpha = \frac{\pi}{8} $, следовательно:

$ \sin^2\frac{\pi}{8} + \cos^2\frac{\pi}{8} = 1 $

Подставим это значение в исходное уравнение:

$ 1 - \sqrt{2} \sin t = 0 $

Теперь решим это уравнение относительно $ \sin t $:

$ \sqrt{2} \sin t = 1 $

$ \sin t = \frac{1}{\sqrt{2}} $

Умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{2} $, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:

$ \sin t = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Это стандартное тригонометрическое уравнение. Общее решение для $ \sin t = a $ имеет вид $ t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

В нашем случае $ a = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4} $.

Значит, общее решение уравнения:

$ t = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ t = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

б) $ \sqrt{\frac{4}{3}}\cos t = \cos^2 1 + \sin^2 1 $

Рассмотрим правую часть уравнения: $ \cos^2 1 + \sin^2 1 $. Это также основное тригонометрическое тождество $ \cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1 $, где $ \alpha = 1 $ (угол в радианах).

$ \cos^2 1 + \sin^2 1 = 1 $

Упростим коэффициент при $ \cos t $ в левой части:

$ \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} $

Подставим упрощенные выражения в исходное уравнение:

$ \frac{2}{\sqrt{3}}\cos t = 1 $

Выразим $ \cos t $:

$ \cos t = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Это стандартное тригонометрическое уравнение. Общее решение для $ \cos t = a $ имеет вид $ t = \pm \arccos(a) + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

В нашем случае $ a = \frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6} $.

Значит, общее решение уравнения:

$ t = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ t = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.