Номер 13.27, страница 91, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

13.27. Упростите выражение:

а) $\sin t \cdot \cos t \cdot \operatorname{tg} t;$

б) $\sin t \cdot \cos t \cdot \operatorname{ctg} t - 1;$

в) $\sin^2 t - \operatorname{tg} t \cdot \operatorname{ctg} t;$

г) $\frac{1 - \cos^2 t}{1 - \sin^2 t}. $

а) Для упрощения выражения $ \sin t \cdot \cos t \cdot \text{tg } t $ воспользуемся определением тангенса: $ \text{tg } t = \frac{\sin t}{\cos t} $. Подставим это определение в исходное выражение:

$ \sin t \cdot \cos t \cdot \frac{\sin t}{\cos t} $

При условии, что $ \cos t \neq 0 $ (что необходимо для существования $ \text{tg } t $), можно сократить $ \cos t $. В результате получаем:

$ \sin t \cdot \sin t = \sin^2 t $

Ответ: $ \sin^2 t $

б) Упростим выражение $ \sin t \cdot \cos t \cdot \text{ctg } t - 1 $. Используем определение котангенса: $ \text{ctg } t = \frac{\cos t}{\sin t} $.

Подставим это в выражение:

$ \sin t \cdot \cos t \cdot \frac{\cos t}{\sin t} - 1 $

При условии, что $ \sin t \neq 0 $ (область определения $ \text{ctg } t $), сокращаем $ \sin t $:

$ \cos t \cdot \cos t - 1 = \cos^2 t - 1 $

Из основного тригонометрического тождества $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 $ следует, что $ \cos^2 t - 1 = -\sin^2 t $.

Ответ: $ -\sin^2 t $

в) Рассмотрим выражение $ \sin^2 t - \text{tg } t \cdot \text{ctg } t $. Известно, что произведение тангенса и котангенса одного и того же угла равно единице: $ \text{tg } t \cdot \text{ctg } t = 1 $ (при условии, что $ \sin t \neq 0 $ и $ \cos t \neq 0 $).

Заменяем произведение на единицу:

$ \sin^2 t - 1 $

Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 $, получаем $ \sin^2 t - 1 = -\cos^2 t $.

Ответ: $ -\cos^2 t $

г) Упростим дробь $ \frac{1 - \cos^2 t}{1 - \sin^2 t} $. Применим основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 $.

Из этого тождества следуют два равенства:

$ 1 - \cos^2 t = \sin^2 t $

$ 1 - \sin^2 t = \cos^2 t $

Подставим эти выражения в числитель и знаменатель исходной дроби:

$ \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} $

Это выражение можно записать как квадрат отношения синуса к косинусу, что по определению является квадратом тангенса:

$ \left(\frac{\sin t}{\cos t}\right)^2 = \text{tg}^2 t $

Ответ: $ \text{tg}^2 t $