Номер 13.31, страница 91, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

13.31. a) $ \sin 1 \cdot \cos 2 \cdot \operatorname{tg} 3 \cdot \operatorname{ctg} 4; $

б) $ \sin (-5) \cdot \operatorname{ctg} (-6) \cdot \operatorname{tg} (-7) \cdot \operatorname{ctg} (-8). $

а) Чтобы определить знак произведения $ \sin 1 \cdot \cos 2 \cdot \operatorname{tg} 3 \cdot \operatorname{ctg} 4 $, необходимо определить знак каждого множителя. Углы заданы в радианах. Для определения координатной четверти воспользуемся приближенными значениями: $ \pi \approx 3.14 $, $ \frac{\pi}{2} \approx 1.57 $, $ \frac{3\pi}{2} \approx 4.71 $.

1. $ \sin 1 $: Так как $ 0 < 1 < \frac{\pi}{2} \approx 1.57 $, угол 1 радиан находится в I четверти. Синус в I четверти положителен, значит, $ \sin 1 > 0 $ (знак «+»).

2. $ \cos 2 $: Так как $ \frac{\pi}{2} \approx 1.57 < 2 < \pi \approx 3.14 $, угол 2 радиана находится во II четверти. Косинус во II четверти отрицателен, значит, $ \cos 2 < 0 $ (знак «-»).

3. $ \operatorname{tg} 3 $: Так как $ \frac{\pi}{2} \approx 1.57 < 3 < \pi \approx 3.14 $, угол 3 радиана находится во II четверти. Тангенс во II четверти отрицателен, значит, $ \operatorname{tg} 3 < 0 $ (знак «-»).

4. $ \operatorname{ctg} 4 $: Так как $ \pi \approx 3.14 < 4 < \frac{3\pi}{2} \approx 4.71 $, угол 4 радиана находится в III четверти. Котангенс в III четверти положителен, значит, $ \operatorname{ctg} 4 > 0 $ (знак «+»).

Теперь определим знак всего выражения, перемножив знаки множителей: $ (+) \cdot (-) \cdot (-) \cdot (+) $. Произведение двух отрицательных и двух положительных чисел является положительным числом.

Следовательно, значение выражения $ \sin 1 \cdot \cos 2 \cdot \operatorname{tg} 3 \cdot \operatorname{ctg} 4 $ положительно.

Ответ: знак «+».

б) Чтобы определить знак произведения $ \sin(-5) \cdot \operatorname{ctg}(-6) \cdot \operatorname{tg}(-7) \cdot \operatorname{ctg}(-8) $, сначала воспользуемся свойствами четности/нечетности тригонометрических функций.

Функции синус, тангенс и котангенс являются нечетными, то есть $ \sin(-x) = -\sin x $, $ \operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg} x $, $ \operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg} x $.

Преобразуем выражение:
$ \sin(-5) \cdot \operatorname{ctg}(-6) \cdot \operatorname{tg}(-7) \cdot \operatorname{ctg}(-8) = (-\sin 5) \cdot (-\operatorname{ctg} 6) \cdot (-\operatorname{tg} 7) \cdot (-\operatorname{ctg} 8) $.

Произведение содержит четыре знака «минус», поэтому итоговый знак выражения будет таким же, как у выражения $ \sin 5 \cdot \operatorname{ctg} 6 \cdot \operatorname{tg} 7 \cdot \operatorname{ctg} 8 $. Определим знак каждого множителя в этом новом выражении. Используем приближенные значения: $ \pi \approx 3.14 $, $ \frac{3\pi}{2} \approx 4.71 $, $ 2\pi \approx 6.28 $.

1. $ \sin 5 $: Так как $ \frac{3\pi}{2} \approx 4.71 < 5 < 2\pi \approx 6.28 $, угол 5 радиан находится в IV четверти. Синус в IV четверти отрицателен, значит, $ \sin 5 < 0 $ (знак «-»).

2. $ \operatorname{ctg} 6 $: Так как $ \frac{3\pi}{2} \approx 4.71 < 6 < 2\pi \approx 6.28 $, угол 6 радиан находится в IV четверти. Котангенс в IV четверти отрицателен, значит, $ \operatorname{ctg} 6 < 0 $ (знак «-»).

3. $ \operatorname{tg} 7 $: Так как $ 7 > 2\pi \approx 6.28 $, найдем эквивалентный угол в пределах первого оборота: $ 7 - 2\pi \approx 7 - 6.28 = 0.72 $. Угол 0.72 радиан находится в I четверти ($ 0 < 0.72 < \frac{\pi}{2} \approx 1.57 $). Тангенс в I четверти положителен, значит, $ \operatorname{tg} 7 > 0 $ (знак «+»).

4. $ \operatorname{ctg} 8 $: Так как $ 8 > 2\pi \approx 6.28 $, найдем эквивалентный угол: $ 8 - 2\pi \approx 8 - 6.28 = 1.72 $. Угол 1.72 радиан находится во II четверти ($ \frac{\pi}{2} \approx 1.57 < 1.72 < \pi \approx 3.14 $). Котангенс во II четверти отрицателен, значит, $ \operatorname{ctg} 8 < 0 $ (знак «-»).

Перемножим знаки: $ (-) \cdot (-) \cdot (+) \cdot (-) $. Произведение трех отрицательных и одного положительного числа является отрицательным числом.

Следовательно, значение выражения $ \sin(-5) \cdot \operatorname{ctg}(-6) \cdot \operatorname{tg}(-7) \cdot \operatorname{ctg}(-8) $ отрицательно.

Ответ: знак «-».