Номер 13.38, страница 92, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Расположите в порядке возрастания числа:

13.38. a) $\sin \frac{\pi}{7}$; $\sin \frac{\pi}{5}$; $\sin \frac{2\pi}{3}$; $\sin \frac{7\pi}{6}$; $\sin \frac{4\pi}{3}$;

б) $\cos \frac{\pi}{8}$; $\cos \frac{\pi}{3}$; $\cos \frac{5\pi}{6}$; $\cos \frac{5\pi}{4}$; $\cos \frac{7\pi}{4}$.

а) Для того чтобы расположить числа $sin(\frac{\pi}{7})$, $sin(\frac{\pi}{5})$, $sin(\frac{2\pi}{3})$, $sin(\frac{7\pi}{6})$, $sin(\frac{4\pi}{3})$ в порядке возрастания, определим их значения или знаки и сравним их между собой.

1. Вычислим значения известных тригонометрических функций, используя формулы приведения:
$sin(\frac{2\pi}{3}) = sin(\pi - \frac{\pi}{3}) = sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$sin(\frac{7\pi}{6}) = sin(\pi + \frac{\pi}{6}) = -sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$
$sin(\frac{4\pi}{3}) = sin(\pi + \frac{\pi}{3}) = -sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Числа $sin(\frac{\pi}{7})$ и $sin(\frac{\pi}{5})$ являются положительными, так как углы $\frac{\pi}{7}$ и $\frac{\pi}{5}$ находятся в первой четверти $(0, \frac{\pi}{2})$.

2. Сравним отрицательные числа:
У нас есть два отрицательных значения: $sin(\frac{7\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$ и $sin(\frac{4\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Так как $1 < \sqrt{3}$, то $\frac{1}{2} < \frac{\sqrt{3}}{2}$, а значит $-\frac{1}{2} > -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Следовательно, $sin(\frac{4\pi}{3}) < sin(\frac{7\pi}{6})$.

3. Сравним положительные числа:
У нас есть три положительных значения: $sin(\frac{\pi}{7})$, $sin(\frac{\pi}{5})$ и $sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Функция $y=sin(x)$ возрастает на промежутке $[0, \frac{\pi}{2}]$. Сравним аргументы, приведя их к одному виду: $\frac{\pi}{7}$, $\frac{\pi}{5}$ и $\frac{\pi}{3}$ (поскольку $sin(\frac{2\pi}{3}) = sin(\frac{\pi}{3})$).
$0 < \frac{\pi}{7} < \frac{\pi}{5} < \frac{\pi}{3}$.
Так как функция синуса возрастает на этом интервале, то $sin(\frac{\pi}{7}) < sin(\frac{\pi}{5}) < sin(\frac{\pi}{3})$.
Таким образом, $sin(\frac{\pi}{7}) < sin(\frac{\pi}{5}) < sin(\frac{2\pi}{3})$.

4. Объединим все результаты:
Расположим все числа в порядке возрастания, начиная с отрицательных: $sin(\frac{4\pi}{3}) < sin(\frac{7\pi}{6}) < sin(\frac{\pi}{7}) < sin(\frac{\pi}{5}) < sin(\frac{2\pi}{3})$.

Ответ: $sin(\frac{4\pi}{3})$, $sin(\frac{7\pi}{6})$, $sin(\frac{\pi}{7})$, $sin(\frac{\pi}{5})$, $sin(\frac{2\pi}{3})$.

б) Для того чтобы расположить числа $cos(\frac{\pi}{8})$, $cos(\frac{\pi}{3})$, $cos(\frac{5\pi}{6})$, $cos(\frac{5\pi}{4})$, $cos(\frac{7\pi}{4})$ в порядке возрастания, определим их значения или знаки и сравним их.

1. Вычислим значения известных тригонометрических функций, используя формулы приведения:
$cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$
$cos(\frac{5\pi}{6}) = cos(\pi - \frac{\pi}{6}) = -cos(\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$cos(\frac{5\pi}{4}) = cos(\pi + \frac{\pi}{4}) = -cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
$cos(\frac{7\pi}{4}) = cos(2\pi - \frac{\pi}{4}) = cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Число $cos(\frac{\pi}{8})$ является положительным, так как угол $\frac{\pi}{8}$ находится в первой четверти.

2. Сравним отрицательные числа:
У нас есть два отрицательных значения: $cos(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $cos(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Так как $\sqrt{3} > \sqrt{2}$, то $\frac{\sqrt{3}}{2} > \frac{\sqrt{2}}{2}$, а значит $-\frac{\sqrt{3}}{2} < -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Следовательно, $cos(\frac{5\pi}{6}) < cos(\frac{5\pi}{4})$.

3. Сравним положительные числа:
У нас есть три положительных значения: $cos(\frac{\pi}{8})$, $cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $cos(\frac{7\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Функция $y=cos(x)$ убывает на промежутке $[0, \pi]$. Сравним соответствующие углы из первого квадранта: $\frac{\pi}{8}$, $\frac{\pi}{3}$ и $\frac{\pi}{4}$ (поскольку $cos(\frac{7\pi}{4}) = cos(\frac{\pi}{4})$).
$0 < \frac{\pi}{8} < \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{3}$.
Так как функция косинуса убывает на этом интервале, то $cos(\frac{\pi}{8}) > cos(\frac{\pi}{4}) > cos(\frac{\pi}{3})$.
Таким образом, в порядке возрастания: $cos(\frac{\pi}{3}) < cos(\frac{7\pi}{4}) < cos(\frac{\pi}{8})$.

4. Объединим все результаты:
Расположим все числа в порядке возрастания, начиная с отрицательных: $cos(\frac{5\pi}{6}) < cos(\frac{5\pi}{4}) < cos(\frac{\pi}{3}) < cos(\frac{7\pi}{4}) < cos(\frac{\pi}{8})$.

Ответ: $cos(\frac{5\pi}{6})$, $cos(\frac{5\pi}{4})$, $cos(\frac{\pi}{3})$, $cos(\frac{7\pi}{4})$, $cos(\frac{\pi}{8})$.