Номер 13.37, страница 92, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

13.37. а) $a = \sin 1, b = \cos 6;$

б) $a = \sin 2, b = \cos 4;$

В) $a = \sin 4, b = \cos 2;$

Г) $a = \sin 3, b = \cos 5.$

Для решения задачи сравним значения тригонометрических функций, определив их знаки и используя тригонометрическую окружность, формулы приведения и свойства монотонности. Аргументы функций даны в радианах. Будем использовать приближенные значения: $\pi \approx 3.14$, $\pi/2 \approx 1.57$, $3\pi/2 \approx 4.71$, $2\pi \approx 6.28$.

Необходимо сравнить числа $a = \sin 1$ и $b = \cos 6$.

1. Определим знаки чисел.Для $a = \sin 1$: угол 1 радиан находится в I четверти, так как $0 < 1 < \pi/2 \approx 1.57$. В I четверти синус положителен, следовательно, $\sin 1 > 0$.Для $b = \cos 6$: угол 6 радиан находится в IV четверти, так как $3\pi/2 \approx 4.71 < 6 < 2\pi \approx 6.28$. В IV четверти косинус положителен, следовательно, $\cos 6 > 0$.

2. Оба числа положительны. Для сравнения приведем их к одной функции с аргументами из I четверти.Преобразуем $a = \sin 1$ с помощью формулы приведения $\sin x = \cos(\pi/2 - x)$:$a = \sin 1 = \cos(\pi/2 - 1)$.

Преобразуем $b = \cos 6$ с помощью формулы периодичности $\cos x = \cos(x - 2\pi)$ и четности $\cos(-y) = \cos y$:$b = \cos 6 = \cos(6 - 2\pi) = \cos(2\pi - 6)$.

3. Теперь нам нужно сравнить $\cos(\pi/2 - 1)$ и $\cos(2\pi - 6)$. Оба аргумента, $(\pi/2 - 1)$ и $(2\pi - 6)$, положительны и меньше $\pi/2$. Сравним эти аргументы:$\pi/2 - 1$ и $2\pi - 6$.Перенесем члены: $6 - 1$ и $2\pi - \pi/2$.$5$ и $3\pi/2$.Так как $3\pi/2 \approx 3 \times 3.14 / 2 = 4.71$, то $5 > 3\pi/2$.Следовательно, $\pi/2 - 1 > 2\pi - 6$.

Функция $y = \cos x$ убывает на интервале $(0, \pi/2)$. Поскольку аргументы принадлежат этому интервалу и $\pi/2 - 1 > 2\pi - 6$, для значений функции будет выполняться обратное неравенство:$\cos(\pi/2 - 1) < \cos(2\pi - 6)$.Это означает, что $\sin 1 < \cos 6$, то есть $a < b$.

Ответ: $a < b$.

Необходимо сравнить числа $a = \sin 2$ и $b = \cos 4$.

1. Определим знаки чисел.Для $a = \sin 2$: угол 2 радиана находится во II четверти, так как $\pi/2 \approx 1.57 < 2 < \pi \approx 3.14$. Во II четверти синус положителен, значит, $\sin 2 > 0$.

Для $b = \cos 4$: угол 4 радиана находится в III четверти, так как $\pi \approx 3.14 < 4 < 3\pi/2 \approx 4.71$. В III четверти косинус отрицателен, значит, $\cos 4 < 0$.

2. Сравниваем положительное число $a = \sin 2$ и отрицательное число $b = \cos 4$. Очевидно, что любое положительное число больше любого отрицательного.Следовательно, $\sin 2 > \cos 4$, то есть $a > b$.

Ответ: $a > b$.

Необходимо сравнить числа $a = \sin 4$ и $b = \cos 2$.

1. Определим знаки чисел.Для $a = \sin 4$: угол 4 радиана находится в III четверти, так как $\pi \approx 3.14 < 4 < 3\pi/2 \approx 4.71$. В III четверти синус отрицателен, значит, $\sin 4 < 0$.

Для $b = \cos 2$: угол 2 радиана находится во II четверти, так как $\pi/2 \approx 1.57 < 2 < \pi \approx 3.14$. Во II четверти косинус отрицателен, значит, $\cos 2 < 0$.

2. Оба числа отрицательны. Для их сравнения можно сравнить их со значением $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.Рассмотрим $a = \sin 4$. Известно, что $\sin(5\pi/4) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Так как $5\pi/4 \approx 3.927$, то $4 > 5\pi/4$. В III четверти функция синус убывает, поэтому $\sin 4 < \sin(5\pi/4) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Рассмотрим $b = \cos 2$. Известно, что $\cos(3\pi/4) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Так как $3\pi/4 \approx 2.356$, то $2 < 3\pi/4$. Во II четверти функция косинус убывает, поэтому $\cos 2 > \cos(3\pi/4) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

3. Мы получили, что $a < -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $b > -\frac{\sqrt{2}}{2}$.Отсюда следует, что $a < b$.

Ответ: $a < b$.

Необходимо сравнить числа $a = \sin 3$ и $b = \cos 5$.

1. Определим знаки чисел.Для $a = \sin 3$: угол 3 радиана находится во II четверти, так как $\pi/2 \approx 1.57 < 3 < \pi \approx 3.14$. Синус здесь положителен, $\sin 3 > 0$.

Для $b = \cos 5$: угол 5 радиан находится в IV четверти, так как $3\pi/2 \approx 4.71 < 5 < 2\pi \approx 6.28$. Косинус здесь положителен, $\cos 5 > 0$.

2. Оба числа положительны. Приведем их к одной функции с аргументами в I четверти.Преобразуем $a = \sin 3$ по формуле приведения $\sin x = \sin(\pi-x)$:$a = \sin 3 = \sin(\pi - 3)$. Аргумент $(\pi - 3)$ находится в I четверти.

Преобразуем $b = \cos 5$, приведя аргумент к I четверти: $\cos 5 = \cos(2\pi - 5)$. Затем используем формулу $\cos x = \sin(\pi/2 - x)$:$b = \cos(2\pi - 5) = \sin(\pi/2 - (2\pi - 5)) = \sin(5 - 3\pi/2)$. Аргумент $(5 - 3\pi/2)$ также находится в I четверти.

3. Сравним аргументы $\pi - 3$ и $5 - 3\pi/2$.Сравнение $\pi - 3$ и $5 - 3\pi/2$ эквивалентно сравнению $5\pi/2$ и $8$, или $5\pi$ и $16$, или $\pi$ и $16/5 = 3.2$.Так как $\pi \approx 3.14159 < 3.2$, то $\pi < 16/5$, и, следовательно, $\pi-3 < 5-3\pi/2$.

Функция $y = \sin x$ возрастает на интервале $(0, \pi/2)$. Так как оба аргумента принадлежат этому интервалу и $\pi-3 < 5-3\pi/2$, для значений функции будет выполняться такое же неравенство:$\sin(\pi-3) < \sin(5-3\pi/2)$.Это означает, что $\sin 3 < \cos 5$, то есть $a < b$.

Ответ: $a < b$.