Номер 13.43, страница 92, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

13.43. a) $\sqrt{\sin^2 5 - 2 \sin 5 \cdot \sin \frac{11\pi}{6} + \sin^2 \frac{11\pi}{6}} - \sqrt{\sin^2 \frac{5\pi}{6} - 2 \sin \frac{5\pi}{6} \cdot \sin 5 + \sin^2 5;}$

б) $\sqrt{\cos^2 4 - 2 \cos 4 \cdot \cos \frac{2\pi}{3} + \cos^2 \frac{2\pi}{3}} + \sqrt{\cos^2 4 - 2 \cos 4 \cdot \cos \frac{\pi}{3} + \cos^2 \frac{\pi}{3}}.$

а)

Рассмотрим выражение: $ \sqrt{\sin^2 5 - 2 \sin 5 \cdot \sin \frac{11\pi}{6} + \sin^2 \frac{11\pi}{6}} - \sqrt{\sin^2 \frac{5\pi}{6} - 2 \sin \frac{5\pi}{6} \cdot \sin 5 + \sin^2 5} $.

Заметим, что выражения под знаками корня представляют собой полные квадраты разности, которые можно свернуть по формуле $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.

Первый член выражения: $ \sqrt{\sin^2 5 - 2 \sin 5 \cdot \sin \frac{11\pi}{6} + \sin^2 \frac{11\pi}{6}} = \sqrt{(\sin 5 - \sin \frac{11\pi}{6})^2} $.

Второй член выражения: $ \sqrt{\sin^2 \frac{5\pi}{6} - 2 \sin \frac{5\pi}{6} \cdot \sin 5 + \sin^2 5} = \sqrt{(\sin \frac{5\pi}{6} - \sin 5)^2} $.

Применяя свойство $ \sqrt{x^2} = |x| $, преобразуем исходное выражение:

$ |\sin 5 - \sin \frac{11\pi}{6}| - |\sin \frac{5\pi}{6} - \sin 5| $

Вычислим значения синусов для табличных углов:

$ \sin \frac{11\pi}{6} = \sin(2\pi - \frac{\pi}{6}) = -\sin \frac{\pi}{6} = -0.5 $

$ \sin \frac{5\pi}{6} = \sin(\pi - \frac{\pi}{6}) = \sin \frac{\pi}{6} = 0.5 $

Подставим полученные значения в выражение:

$ |\sin 5 - (-0.5)| - |0.5 - \sin 5| = |\sin 5 + 0.5| - |0.5 - \sin 5| $

Теперь необходимо оценить значение $ \sin 5 $. Аргумент 5 указан в радианах. Используя приближенное значение $ \pi \approx 3.14 $, определим четверть, в которой находится угол 5 радиан: $ \frac{3\pi}{2} \approx 4.71 $ и $ 2\pi \approx 6.28 $.

Поскольку $ \frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi $, угол 5 находится в IV четверти, где значения синуса отрицательны ($ \sin 5 < 0 $).

Сравним $ \sin 5 $ со значением $ -0.5 $. Синус равен $ -0.5 $ при угле $ \frac{11\pi}{6} \approx 5.76 $. В IV четверти функция $y = \sin x$ возрастает. Так как $ 5 < \frac{11\pi}{6} $, то $ \sin 5 < \sin \frac{11\pi}{6} $, следовательно, $ \sin 5 < -0.5 $.

Теперь раскроем модули с учетом знаков подмодульных выражений:

1. Для $ |\sin 5 + 0.5| $: так как $ \sin 5 < -0.5 $, то $ \sin 5 + 0.5 < 0 $. Следовательно, $ |\sin 5 + 0.5| = -(\sin 5 + 0.5) = -\sin 5 - 0.5 $.

2. Для $ |0.5 - \sin 5| $: так как $ \sin 5 $ отрицательно, $ -\sin 5 $ положительно. Выражение $ 0.5 - \sin 5 $ является суммой двух положительных чисел и, следовательно, положительно. Значит, $ |0.5 - \sin 5| = 0.5 - \sin 5 $.

Подставим раскрытые модули обратно в выражение:

$ (-\sin 5 - 0.5) - (0.5 - \sin 5) = -\sin 5 - 0.5 - 0.5 + \sin 5 = -1 $.

Ответ: $ -1 $

б)

Рассмотрим выражение: $ \sqrt{\cos^2 4 - 2 \cos 4 \cdot \cos \frac{2\pi}{3} + \cos^2 \frac{2\pi}{3}} + \sqrt{\cos^2 4 - 2 \cos 4 \cdot \cos \frac{\pi}{3} + \cos^2 \frac{\pi}{3}} $.

Выражения под корнями являются полными квадратами разности.

Первый член: $ \sqrt{(\cos 4 - \cos \frac{2\pi}{3})^2} $.

Второй член: $ \sqrt{(\cos 4 - \cos \frac{\pi}{3})^2} $.

Используя свойство $ \sqrt{x^2} = |x| $, получаем:

$ |\cos 4 - \cos \frac{2\pi}{3}| + |\cos 4 - \cos \frac{\pi}{3}| $

Найдем значения косинусов для табличных углов:

$ \cos \frac{2\pi}{3} = \cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\cos \frac{\pi}{3} = -0.5 $

$ \cos \frac{\pi}{3} = 0.5 $

Подставим эти значения в выражение:

$ |\cos 4 - (-0.5)| + |\cos 4 - 0.5| = |\cos 4 + 0.5| + |\cos 4 - 0.5| $

Оценим значение $ \cos 4 $. Аргумент 4 дан в радианах. Учитывая, что $ \pi \approx 3.14 $ и $ \frac{3\pi}{2} \approx 4.71 $.

Так как $ \pi < 4 < \frac{3\pi}{2} $, угол 4 радиана находится в III четверти, где косинус отрицателен, то есть $ \cos 4 < 0 $.

Сравним $ \cos 4 $ со значением $ -0.5 $. Косинус равен $ -0.5 $ при угле $ \frac{4\pi}{3} \approx 4.19 $ в III четверти. В III четверти функция $y=\cos x$ возрастает. Поскольку $ \pi < 4 < \frac{4\pi}{3} $, то $ \cos \pi < \cos 4 < \cos(\frac{4\pi}{3}) $, что означает $ -1 < \cos 4 < -0.5 $.

Теперь раскроем модули:

1. Для $ |\cos 4 + 0.5| $: поскольку $ \cos 4 < -0.5 $, выражение $ \cos 4 + 0.5 $ отрицательно. Следовательно, $ |\cos 4 + 0.5| = -(\cos 4 + 0.5) = -\cos 4 - 0.5 $.

2. Для $ |\cos 4 - 0.5| $: поскольку $ \cos 4 $ отрицательно, выражение $ \cos 4 - 0.5 $ (разность отрицательного и положительного числа) также отрицательно. Следовательно, $ |\cos 4 - 0.5| = -(\cos 4 - 0.5) = -\cos 4 + 0.5 $.

Подставим раскрытые модули в выражение и найдем сумму:

$ (-\cos 4 - 0.5) + (-\cos 4 + 0.5) = -\cos 4 - 0.5 - \cos 4 + 0.5 = -2\cos 4 $.

Ответ: $ -2\cos 4 $