Номер 13.50, страница 93, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

13.50. a) $\begin{cases} \sin t > 0, \\ \cos t < \frac{1}{2}; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \cos t < 0, \\ \sin t > -\frac{1}{2}; \end{cases}$

В) $\begin{cases} \sin t > -\frac{\sqrt{2}}{2}, \\ \cos t < \frac{\sqrt{3}}{2}; \end{cases}$

г) $\begin{cases} \cos t > \frac{1}{2}, \\ \sin t < \frac{\sqrt{2}}{2}. \end{cases}$

а)

Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} \sin t > 0, \\ \cos t < \frac{1}{2}. \end{cases} $$

1. Неравенство $\sin t > 0$ выполняется для всех точек на единичной окружности, у которых ордината (координата y) положительна. Это соответствует дуге окружности, расположенной в I и II координатных четвертях. Решением этого неравенства является интервал $t \in (2\pi k, \pi + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Неравенство $\cos t < \frac{1}{2}$ выполняется для всех точек на единичной окружности, у которых абсцисса (координата x) меньше $\frac{1}{2}$. Найдем точки, где $\cos t = \frac{1}{2}$: $t = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$ и $t = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k = \frac{5\pi}{3} + 2\pi k$. Следовательно, решением неравенства $\cos t < \frac{1}{2}$ является интервал $t \in (\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{5\pi}{3} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3. Найдем пересечение полученных множеств решений. Для $k=0$ имеем $t \in (0, \pi)$ и $t \in (\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3})$. Пересечением этих интервалов является $(\frac{\pi}{3}, \pi)$.

4. Обобщая на все периоды, получаем общее решение системы.

Ответ: $t \in (\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \pi + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

б)

Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} \cos t < 0, \\ \sin t > -\frac{1}{2}. \end{cases} $$

1. Неравенство $\cos t < 0$ выполняется для точек, расположенных во II и III координатных четвертях (где абсцисса отрицательна). Решением является интервал $t \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Неравенство $\sin t > -\frac{1}{2}$ выполняется для точек, у которых ордината больше $-\frac{1}{2}$. Найдем точки, где $\sin t = -\frac{1}{2}$: $t = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $t = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$. Решением неравенства является интервал $t \in (-\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{7\pi}{6} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3. Найдем пересечение множеств решений. Для $k=0$ имеем $t \in (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$ и $t \in (-\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6})$. Пересечением этих интервалов является $(\frac{\pi}{2}, \frac{7\pi}{6})$.

4. Обобщая на все периоды, получаем общее решение системы.

Ответ: $t \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{7\pi}{6} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

в)

Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} \sin t > -\frac{\sqrt{2}}{2}, \\ \cos t < \frac{\sqrt{3}}{2}. \end{cases} $$

1. Неравенство $\sin t > -\frac{\sqrt{2}}{2}$ выполняется для точек, у которых ордината больше $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Точки, где $\sin t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, это $t = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$ и $t = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$. Решением неравенства является интервал $t \in (-\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{5\pi}{4} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Неравенство $\cos t < \frac{\sqrt{3}}{2}$ выполняется для точек, у которых абсцисса меньше $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Точки, где $\cos t = \frac{\sqrt{3}}{2}$, это $t = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $t = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$. Решением неравенства является интервал $t \in (\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{11\pi}{6} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3. Найдем пересечение множеств решений. Возьмем интервал $t \in [0, 2\pi]$. Первое неравенство дает $t \in [0, \frac{5\pi}{4}) \cup (\frac{7\pi}{4}, 2\pi]$. Второе неравенство дает $t \in (\frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6})$. Пересечение этих множеств есть интервал $(\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{4})$.

4. Обобщая на все периоды, получаем общее решение системы.

Ответ: $t \in (\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{5\pi}{4} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

г)

Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} \cos t > \frac{1}{2}, \\ \sin t < \frac{\sqrt{2}}{2}. \end{cases} $$

1. Неравенство $\cos t > \frac{1}{2}$ выполняется для точек, у которых абсцисса больше $\frac{1}{2}$. Это соответствует дуге в I и IV четвертях. Решением является интервал $t \in (-\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{\pi}{3} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Неравенство $\sin t < \frac{\sqrt{2}}{2}$ выполняется для точек, у которых ордината меньше $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Точки, где $\sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}$, это $t = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$ и $t = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$. Решением неравенства является множество $t \in (\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, 2\pi + \frac{\pi}{4} + 2\pi k)$, что можно записать как $t \in (\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \frac{9\pi}{4} + 2\pi k)$. Для удобства пересечения это множество можно представить как $t \in (-\frac{5\pi}{4} + 2\pi k, \frac{\pi}{4} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3. Найдем пересечение множеств решений. Для $k=0$ имеем $t \in (-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3})$ и $t \in (-\frac{5\pi}{4}, \frac{\pi}{4})$. Пересечением этих интервалов является $(-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{4})$.

4. Обобщая на все периоды, получаем общее решение системы.

Ответ: $t \in (-\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{\pi}{4} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.