gdz.top
Номер 13.55, страница 94, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов
Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Звавич Л. И., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Рязановский А. Р.
Тип: Учебник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Часть: 2
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04648-6 (общ.), 978-5-346-04649-3 (ч. 1), 978-5-346-04650-9 (ч. 2),
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Часть 2. Глава 3. Тригонометрические функции. Параграф 13. Синус и косинус. Тангенс и котангенс - номер 13.55, страница 94.
№13.54
№13.55 (с. 94)
Условие. №13.55 (с. 94)
13.55. Решите уравнение $x^4 - 4x^3 + 4x^2 + \cos^2 \frac{3\pi x}{4} = 0$.
Решение 1. №13.55 (с. 94)
Решение 2. №13.55 (с. 94)
Решение 3. №13.55 (с. 94)
Преобразуем левую часть данного уравнения. Выражение $x^4 - 4x^3 + 4x^2$ можно представить в виде произведения, вынеся за скобки $x^2$: $x^2(x^2 - 4x + 4)$. Выражение в скобках является полным квадратом разности: $(x-2)^2$. Таким образом, полиномиальная часть уравнения равна $x^2(x-2)^2$.
Уравнение принимает вид: $x^2(x-2)^2 + \cos^2{\frac{3\pi x}{4}} = 0$.
Рассмотрим каждое слагаемое в левой части уравнения. Первое слагаемое, $x^2(x-2)^2$, является произведением двух квадратов, поэтому оно всегда неотрицательно, то есть $x^2(x-2)^2 \ge 0$ для любого действительного $x$. Второе слагаемое, $\cos^2{\frac{3\pi x}{4}}$, также всегда неотрицательно, так как представляет собой квадрат действительного числа: $\cos^2{\frac{3\pi x}{4}} \ge 0$.
Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю. Следовательно, исходное уравнение равносильно системе уравнений: $$ \begin{cases} x^2(x-2)^2 = 0 \\ \cos^2{\frac{3\pi x}{4}} = 0 \end{cases} $$
Из первого уравнения $x^2(x-2)^2 = 0$ находим его корни: $x_1=0$ и $x_2=2$.
Проверим эти корни, подставив их во второе уравнение системы $\cos^2{\frac{3\pi x}{4}} = 0$.
При $x=0$: $\cos^2{\frac{3\pi \cdot 0}{4}} = \cos^2(0) = 1^2 = 1$. Поскольку $1 \ne 0$, $x=0$ не является решением системы.
При $x=2$: $\cos^2{\frac{3\pi \cdot 2}{4}} = \cos^2{\frac{6\pi}{4}} = \cos^2{\frac{3\pi}{2}} = 0^2 = 0$. Поскольку $0 = 0$, $x=2$ является решением системы.
Таким образом, система, а следовательно и исходное уравнение, имеет единственное решение $x=2$.
Ответ: $2$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 13.55 расположенного на странице 94 для 2-й части к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №13.55 (с. 94), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Звавич (Леонид Исаакович), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Рязановский (А Р), 2-й части ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.