Номер 14.6, страница 95, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

14.6. Докажите, что при всех допустимых значениях t выражение принимает одно и то же значение:

а) $(\sin t + \cos t)^2 - 2 \sin t \cos t;$

б) $\frac{2 - \sin^2 t - \cos^2 t}{3 \sin^2 t + 3 \cos^2 t};$

в) $\sin^4 t + \cos^4 t + 2 \sin^2 t \cos^2 t;$

г) $\frac{\sin^4 t - \cos^4 t}{\sin^2 t - \cos^2 t}.$

а) Упростим выражение $(\sin t + \cos t)^2 - 2 \sin t \cos t$.

Для начала раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(\sin t + \cos t)^2 = \sin^2 t + 2 \sin t \cos t + \cos^2 t$

Теперь подставим это в исходное выражение:

$(\sin^2 t + 2 \sin t \cos t + \cos^2 t) - 2 \sin t \cos t$

Сократим подобные члены $2 \sin t \cos t$ и $-2 \sin t \cos t$:

$\sin^2 t + \cos^2 t$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$, получаем:

$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$

Выражение равно 1 при всех допустимых значениях $t$ (в данном случае при всех действительных $t$).

Ответ: 1

б) Упростим выражение $\frac{2 - \sin^2 t - \cos^2 t}{3 \sin^2 t + 3 \cos^2 t}$.

Рассмотрим числитель: $2 - \sin^2 t - \cos^2 t$. Вынесем минус за скобки:

$2 - (\sin^2 t + \cos^2 t)$

Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$:

$2 - 1 = 1$

Теперь рассмотрим знаменатель: $3 \sin^2 t + 3 \cos^2 t$. Вынесем общий множитель 3 за скобки:

$3 (\sin^2 t + \cos^2 t)$

Снова применим основное тригонометрическое тождество:

$3 \cdot 1 = 3$

Таким образом, всё выражение равно:

$\frac{1}{3}$

Знаменатель $3 \sin^2 t + 3 \cos^2 t = 3$ никогда не равен нулю, поэтому выражение определено для всех действительных $t$. Значение выражения постоянно и равно $\frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$

в) Упростим выражение $\sin^4 t + \cos^4 t + 2 \sin^2 t \cos^2 t$.

Это выражение можно представить в виде формулы квадрата суммы. Пусть $a = \sin^2 t$ и $b = \cos^2 t$. Тогда выражение принимает вид $a^2 + b^2 + 2ab$, что является полным квадратом $(a+b)^2$.

$\sin^4 t + 2 \sin^2 t \cos^2 t + \cos^4 t = (\sin^2 t)^2 + 2 (\sin^2 t) (\cos^2 t) + (\cos^2 t)^2$

Свернем это выражение по формуле квадрата суммы:

$(\sin^2 t + \cos^2 t)^2$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$, получаем:

$(1)^2 = 1$

Выражение равно 1 при всех допустимых значениях $t$ (в данном случае при всех действительных $t$).

Ответ: 1

г) Упростим выражение $\frac{\sin^4 t - \cos^4 t}{\sin^2 t - \cos^2 t}$.

Область допустимых значений определяется условием, что знаменатель не равен нулю:

$\sin^2 t - \cos^2 t \neq 0$

Рассмотрим числитель. Он представляет собой разность квадратов, так как $\sin^4 t = (\sin^2 t)^2$ и $\cos^4 t = (\cos^2 t)^2$.

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$\sin^4 t - \cos^4 t = (\sin^2 t - \cos^2 t)(\sin^2 t + \cos^2 t)$

Теперь подставим это в исходную дробь:

$\frac{(\sin^2 t - \cos^2 t)(\sin^2 t + \cos^2 t)}{\sin^2 t - \cos^2 t}$

При условии, что $\sin^2 t - \cos^2 t \neq 0$, мы можем сократить дробь на этот множитель:

$\sin^2 t + \cos^2 t$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$, получаем:

$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$

Таким образом, при всех допустимых значениях $t$ выражение равно 1.

Ответ: 1