Номер 14.13, страница 96, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

14.13. Докажите тождество:

а) $\frac{(\sin t + \cos t)^2 - 1}{\operatorname{ctg} t - \sin t \cos t} = 2 \operatorname{tg}^2 t;$

б) $\sin^3 t(1 + \operatorname{ctg} t) + \cos^3 t(1 + \operatorname{tg} t) = \sin t + \cos t;$

в) $\frac{(\sin t + \cos t)^2 - 1}{\operatorname{tg} t - \sin t \cos t} = 2 \operatorname{ctg}^2 t;$

г) $\frac{1 - 4 \sin^2 t \cos^2 t}{(\sin t + \cos t)^2} + 2 \sin t \cos t = 1.$

а)

Докажем тождество $\frac{(\sin t + \cos t)^2 - 1}{\operatorname{ctg} t - \sin t \cos t} = 2 \operatorname{tg}^2 t$.

Для этого преобразуем левую часть равенства.

1. Упростим числитель дроби. Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$.

$(\sin t + \cos t)^2 - 1 = \sin^2 t + 2 \sin t \cos t + \cos^2 t - 1 = (\sin^2 t + \cos^2 t) + 2 \sin t \cos t - 1 = 1 + 2 \sin t \cos t - 1 = 2 \sin t \cos t$.

2. Упростим знаменатель дроби. Используем определение котангенса $\operatorname{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t}$ и основное тригонометрическое тождество $\cos^2 t = 1 - \sin^2 t$.

$\operatorname{ctg} t - \sin t \cos t = \frac{\cos t}{\sin t} - \sin t \cos t = \frac{\cos t - \sin t \cos t \cdot \sin t}{\sin t} = \frac{\cos t - \sin^2 t \cos t}{\sin t} = \frac{\cos t (1 - \sin^2 t)}{\sin t} = \frac{\cos t \cdot \cos^2 t}{\sin t} = \frac{\cos^3 t}{\sin t}$.

3. Подставим упрощенные числитель и знаменатель в исходную дробь.

$\frac{2 \sin t \cos t}{\frac{\cos^3 t}{\sin t}} = 2 \sin t \cos t \cdot \frac{\sin t}{\cos^3 t} = \frac{2 \sin^2 t \cos t}{\cos^3 t} = \frac{2 \sin^2 t}{\cos^2 t}$.

4. Используем определение тангенса $\operatorname{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t}$, откуда $\operatorname{tg}^2 t = \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}$.

$\frac{2 \sin^2 t}{\cos^2 t} = 2 \operatorname{tg}^2 t$.

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: $\frac{(\sin t + \cos t)^2 - 1}{\operatorname{ctg} t - \sin t \cos t} = 2 \operatorname{tg}^2 t$.

б)

Докажем тождество $\sin^3 t(1 + \operatorname{ctg} t) + \cos^3 t(1 + \operatorname{tg} t) = \sin t + \cos t$.

Преобразуем левую часть равенства.

1. Раскроем скобки и подставим определения тангенса и котангенса: $\operatorname{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t}$ и $\operatorname{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t}$.

$\sin^3 t \cdot (1 + \frac{\cos t}{\sin t}) + \cos^3 t \cdot (1 + \frac{\sin t}{\cos t}) = \sin^3 t + \sin^3 t \frac{\cos t}{\sin t} + \cos^3 t + \cos^3 t \frac{\sin t}{\cos t}$.

2. Сократим дроби.

$\sin^3 t + \sin^2 t \cos t + \cos^3 t + \cos^2 t \sin t$.

3. Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки.

$(\sin^3 t + \cos^2 t \sin t) + (\sin^2 t \cos t + \cos^3 t) = \sin t (\sin^2 t + \cos^2 t) + \cos t (\sin^2 t + \cos^2 t)$.

4. Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$.

$\sin t \cdot 1 + \cos t \cdot 1 = \sin t + \cos t$.

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: $\sin^3 t(1 + \operatorname{ctg} t) + \cos^3 t(1 + \operatorname{tg} t) = \sin t + \cos t$.

в)

Докажем тождество $\frac{(\sin t + \cos t)^2 - 1}{\operatorname{tg} t - \sin t \cos t} = 2 \operatorname{ctg}^2 t$.

Преобразуем левую часть равенства.

1. Упростим числитель дроби (аналогично пункту а)).

$(\sin t + \cos t)^2 - 1 = \sin^2 t + 2 \sin t \cos t + \cos^2 t - 1 = 1 + 2 \sin t \cos t - 1 = 2 \sin t \cos t$.

2. Упростим знаменатель дроби. Используем определение тангенса $\operatorname{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t}$ и основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t = 1 - \cos^2 t$.

$\operatorname{tg} t - \sin t \cos t = \frac{\sin t}{\cos t} - \sin t \cos t = \frac{\sin t - \sin t \cos t \cdot \cos t}{\cos t} = \frac{\sin t - \sin t \cos^2 t}{\cos t} = \frac{\sin t (1 - \cos^2 t)}{\cos t} = \frac{\sin t \cdot \sin^2 t}{\cos t} = \frac{\sin^3 t}{\cos t}$.

3. Подставим упрощенные выражения в исходную дробь.

$\frac{2 \sin t \cos t}{\frac{\sin^3 t}{\cos t}} = 2 \sin t \cos t \cdot \frac{\cos t}{\sin^3 t} = \frac{2 \sin t \cos^2 t}{\sin^3 t} = \frac{2 \cos^2 t}{\sin^2 t}$.

4. Используем определение котангенса $\operatorname{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t}$, откуда $\operatorname{ctg}^2 t = \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}$.

$\frac{2 \cos^2 t}{\sin^2 t} = 2 \operatorname{ctg}^2 t$.

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: $\frac{(\sin t + \cos t)^2 - 1}{\operatorname{tg} t - \sin t \cos t} = 2 \operatorname{ctg}^2 t$.

г)

Докажем тождество $\frac{1 - 4 \sin^2 t \cos^2 t}{(\sin t + \cos t)^2} + 2 \sin t \cos t = 1$.

Преобразуем левую часть равенства.

1. Преобразуем числитель первой дроби, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ и формулу синуса двойного угла $2 \sin t \cos t = \sin(2t)$.

$1 - 4 \sin^2 t \cos^2 t = 1 - (2 \sin t \cos t)^2 = (1 - 2 \sin t \cos t)(1 + 2 \sin t \cos t)$.

2. Преобразуем знаменатель первой дроби, используя формулу квадрата суммы.

$(\sin t + \cos t)^2 = \sin^2 t + 2 \sin t \cos t + \cos^2 t = (\sin^2 t + \cos^2 t) + 2 \sin t \cos t = 1 + 2 \sin t \cos t$.

3. Подставим преобразованные выражения в левую часть тождества.

$\frac{(1 - 2 \sin t \cos t)(1 + 2 \sin t \cos t)}{1 + 2 \sin t \cos t} + 2 \sin t \cos t$.

4. Сократим дробь на общий множитель $(1 + 2 \sin t \cos t)$, при условии что он не равен нулю.

$(1 - 2 \sin t \cos t) + 2 \sin t \cos t$.

5. Приведем подобные слагаемые.

$1 - 2 \sin t \cos t + 2 \sin t \cos t = 1$.

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: $\frac{1 - 4 \sin^2 t \cos^2 t}{(\sin t + \cos t)^2} + 2 \sin t \cos t = 1$.