Номер 14.14, страница 96, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

По заданному значению функции найдите значения остальных тригонометрических функций:

14.14. а) $\sin t = \frac{4}{5}, \frac{\pi}{2} < t < \pi$;

б) $\sin t = \frac{5}{13}, 0 < t < \frac{\pi}{2}$;

в) $\sin t = -0,6, -\frac{\pi}{2} < t < 0$;

г) $\sin t = -0,28, \pi < t < \frac{3\pi}{2}$.

а) Дано: $sin t = \frac{4}{5}$ и $\frac{\pi}{2} < t < \pi$.
Этот интервал соответствует второй координатной четверти. В этой четверти $sin t > 0$ (что соответствует условию), а $cos t < 0$, $tan t < 0$ и $cot t < 0$.
Для нахождения $cos t$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $sin^2 t + cos^2 t = 1$.
$cos^2 t = 1 - sin^2 t = 1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25 - 16}{25} = \frac{9}{25}$.
Следовательно, $cos t = \pm\sqrt{\frac{9}{25}} = \pm\frac{3}{5}$.
Так как угол $t$ находится во второй четверти, значение косинуса отрицательно, поэтому $cos t = -\frac{3}{5}$.
Теперь найдем значения тангенса и котангенса, используя их определения:
$tan t = \frac{sin t}{cos t} = \frac{4/5}{-3/5} = -\frac{4}{3}$.
$cot t = \frac{cos t}{sin t} = \frac{-3/5}{4/5} = -\frac{3}{4}$.
Ответ: $cos t = -\frac{3}{5}$, $tan t = -\frac{4}{3}$, $cot t = -\frac{3}{4}$.

б) Дано: $sin t = \frac{5}{13}$ и $0 < t < \frac{\pi}{2}$.
Этот интервал соответствует первой координатной четверти, где все тригонометрические функции ($sin t, cos t, tan t, cot t$) положительны.
Найдем $cos t$ из основного тригонометрического тождества $sin^2 t + cos^2 t = 1$:
$cos^2 t = 1 - sin^2 t = 1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169}$.
Следовательно, $cos t = \pm\sqrt{\frac{144}{169}} = \pm\frac{12}{13}$.
Поскольку угол $t$ находится в первой четверти, значение косинуса положительно: $cos t = \frac{12}{13}$.
Теперь вычислим тангенс и котангенс:
$tan t = \frac{sin t}{cos t} = \frac{5/13}{12/13} = \frac{5}{12}$.
$cot t = \frac{cos t}{sin t} = \frac{12/13}{5/13} = \frac{12}{5}$.
Ответ: $cos t = \frac{12}{13}$, $tan t = \frac{5}{12}$, $cot t = \frac{12}{5}$.

в) Дано: $sin t = -0,6$ и $-\frac{\pi}{2} < t < 0$.
Этот интервал соответствует четвертой координатной четверти. В этой четверти $sin t < 0$ (что соответствует условию) и $cos t > 0$, $tan t < 0$, $cot t < 0$.
Представим $sin t$ в виде обыкновенной дроби: $sin t = -0,6 = -\frac{6}{10} = -\frac{3}{5}$.
Найдем $cos t$ из тождества $sin^2 t + cos^2 t = 1$:
$cos^2 t = 1 - sin^2 t = 1 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.
Следовательно, $cos t = \pm\sqrt{\frac{16}{25}} = \pm\frac{4}{5}$.
Так как угол $t$ находится в четвертой четверти, значение косинуса положительно: $cos t = \frac{4}{5} = 0,8$.
Вычислим тангенс и котангенс:
$tan t = \frac{sin t}{cos t} = \frac{-3/5}{4/5} = -\frac{3}{4} = -0,75$.
$cot t = \frac{cos t}{sin t} = \frac{4/5}{-3/5} = -\frac{4}{3}$.
Ответ: $cos t = 0,8$, $tan t = -0,75$, $cot t = -\frac{4}{3}$.

г) Дано: $sin t = -0,28$ и $\pi < t < \frac{3\pi}{2}$.
Этот интервал соответствует третьей координатной четверти. В этой четверти $sin t < 0$ (что соответствует условию) и $cos t < 0$, а $tan t > 0$ и $cot t > 0$.
Представим $sin t$ в виде обыкновенной дроби: $sin t = -0,28 = -\frac{28}{100} = -\frac{7}{25}$.
Найдем $cos t$ из тождества $sin^2 t + cos^2 t = 1$:
$cos^2 t = 1 - sin^2 t = 1 - \left(-\frac{7}{25}\right)^2 = 1 - \frac{49}{625} = \frac{625 - 49}{625} = \frac{576}{625}$.
Следовательно, $cos t = \pm\sqrt{\frac{576}{625}} = \pm\frac{24}{25}$.
Поскольку угол $t$ находится в третьей четверти, значение косинуса отрицательно: $cos t = -\frac{24}{25} = -0,96$.
Вычислим тангенс и котангенс:
$tan t = \frac{sin t}{cos t} = \frac{-7/25}{-24/25} = \frac{7}{24}$.
$cot t = \frac{cos t}{sin t} = \frac{-24/25}{-7/25} = \frac{24}{7}$.
Ответ: $cos t = -\frac{24}{25}$, $tan t = \frac{7}{24}$, $cot t = \frac{24}{7}$.