Номер 14.7, страница 95, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

14.7. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции

$s = f(t)$, если:

а) $f(t) = 1 - (\cos^2 t - \sin^2 t)$;

б) $f(t) = 1 - \sin t \cos t \operatorname{tg} t$;

в) $f(t) = \cos^2 t \operatorname{tg}^2 t + 5 \cos^2 t - 1$;

г) $f(t) = \sin t + 3 \sin^2 t + 3 \cos^2 t$.

а) Для функции $f(t) = 1 - (\cos^2 t - \sin^2 t)$ используем формулу косинуса двойного угла: $\cos(2t) = \cos^2 t - \sin^2 t$. Подставив это в исходное выражение, получим: $f(t) = 1 - \cos(2t)$. Мы знаем, что область значений функции косинуса $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \cos(2t) \le 1$. Умножим неравенство на -1, изменив знаки неравенства: $1 \ge -\cos(2t) \ge -1$. Прибавим 1 ко всем частям неравенства: $1 + 1 \ge 1 - \cos(2t) \ge -1 + 1$, что дает $2 \ge f(t) \ge 0$. Следовательно, наименьшее значение функции равно 0, а наибольшее равно 2.
Ответ: Наименьшее значение: 0, наибольшее значение: 2.

б) Рассмотрим функцию $f(t) = 1 - \sin t \cos t \operatorname{tg} t$. Область определения этой функции требует, чтобы $\cos t \neq 0$, так как $\operatorname{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t}$. Упростим выражение: $f(t) = 1 - \sin t \cos t \cdot \frac{\sin t}{\cos t} = 1 - \sin^2 t$. Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$, получаем: $f(t) = \cos^2 t$. Область значений для $\cos t$ это $[-1, 1]$. Тогда область значений для $\cos^2 t$ это $[0, 1]$. Таким образом, наименьшее значение функции равно 0, а наибольшее равно 1. Заметим, что хотя исходная функция не определена при $\cos t = 0$, мы рассматриваем значения упрощенной функции на всей числовой прямой, так как разрыв является устранимым.
Ответ: Наименьшее значение: 0, наибольшее значение: 1.

в) Рассмотрим функцию $f(t) = \cos^2 t \operatorname{tg}^2 t + 5\cos^2 t - 1$. Область определения этой функции также требует, чтобы $\cos t \neq 0$. Упростим выражение, используя $\operatorname{tg}^2 t = \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}$: $f(t) = \cos^2 t \cdot \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} + 5\cos^2 t - 1 = \sin^2 t + 5\cos^2 t - 1$. Сгруппируем слагаемые и применим основное тригонометрическое тождество: $f(t) = (\sin^2 t + \cos^2 t) + 4\cos^2 t - 1 = 1 + 4\cos^2 t - 1 = 4\cos^2 t$. Мы знаем, что $0 \le \cos^2 t \le 1$. Умножив на 4, получаем область значений для $f(t)$: $0 \le 4\cos^2 t \le 4$, то есть $0 \le f(t) \le 4$. Наименьшее значение функции равно 0, а наибольшее равно 4.
Ответ: Наименьшее значение: 0, наибольшее значение: 4.

г) Рассмотрим функцию $f(t) = \sin t + 3\sin^2 t + 3\cos^2 t$. Вынесем общий множитель 3 за скобки: $f(t) = \sin t + 3(\sin^2 t + \cos^2 t)$. Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$: $f(t) = \sin t + 3(1) = \sin t + 3$. Область значений функции синуса $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \sin t \le 1$. Прибавим 3 ко всем частям неравенства: $-1 + 3 \le \sin t + 3 \le 1 + 3$, что дает $2 \le f(t) \le 4$. Следовательно, наименьшее значение функции равно 2, а наибольшее равно 4.
Ответ: Наименьшее значение: 2, наибольшее значение: 4.