Номер 14.8, страница 95, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Упростите выражение:

14.8. а) $\frac{\cos^2 t - \operatorname{ctg}^2 t}{\sin^2 t - \operatorname{tg}^2 t}$;

б) $\operatorname{ctg}^2 t - (\sin^{-2} t - 1)$;

в) $\cos^2 t - \sin^2 t (\operatorname{ctg}^2 t + 1)$;

г) $\frac{\sin^2 t - 1}{\cos^2 t - 1} + \operatorname{tg} t \operatorname{ctg} t$.

а) Исходное выражение: $\frac{\cos^2 t - \text{ctg}^2 t}{\sin^2 t - \text{tg}^2 t}$.
Воспользуемся определениями тангенса и котангенса: $\text{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t}$ и $\text{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t}$. Подставим их в квадрате в исходное выражение:
$\frac{\cos^2 t - \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}}{\sin^2 t - \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}}$
Вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе:
$\frac{\cos^2 t (1 - \frac{1}{\sin^2 t})}{\sin^2 t (1 - \frac{1}{\cos^2 t})}$
Приведем выражения в скобках к общему знаменателю:
$\frac{\cos^2 t (\frac{\sin^2 t - 1}{\sin^2 t})}{\sin^2 t (\frac{\cos^2 t - 1}{\cos^2 t})}$
Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$, из которого следуют два равенства: $\sin^2 t - 1 = -\cos^2 t$ и $\cos^2 t - 1 = -\sin^2 t$.
Подставим эти выражения:
$\frac{\cos^2 t (\frac{-\cos^2 t}{\sin^2 t})}{\sin^2 t (\frac{-\sin^2 t}{\cos^2 t})} = \frac{-\frac{\cos^4 t}{\sin^2 t}}{-\frac{\sin^4 t}{\cos^2 t}}$
Упростим полученную "двухэтажную" дробь, заменив деление умножением на обратную дробь:
$\frac{\cos^4 t}{\sin^2 t} \cdot \frac{\cos^2 t}{\sin^4 t} = \frac{\cos^6 t}{\sin^6 t} = (\frac{\cos t}{\sin t})^6 = \text{ctg}^6 t$.
Ответ: $\text{ctg}^6 t$.

б) Исходное выражение: $\text{ctg}^2 t - (\sin^{-2} t - 1)$.
Запишем $\sin^{-2} t$ как $\frac{1}{\sin^2 t}$:
$\text{ctg}^2 t - (\frac{1}{\sin^2 t} - 1)$
Воспользуемся тригонометрическим тождеством $1 + \text{ctg}^2 t = \frac{1}{\sin^2 t}$. Из него следует, что $\text{ctg}^2 t = \frac{1}{\sin^2 t} - 1$.
Подставим это равенство в исходное выражение:
$\text{ctg}^2 t - (\text{ctg}^2 t) = \text{ctg}^2 t - \text{ctg}^2 t = 0$.
Ответ: $0$.

в) Исходное выражение: $\cos^2 t - \sin^2 t (\text{ctg}^2 t + 1)$.
Воспользуемся тригонометрическим тождеством $1 + \text{ctg}^2 t = \frac{1}{\sin^2 t}$.
Подставим это в выражение в скобках:
$\cos^2 t - \sin^2 t \cdot (\frac{1}{\sin^2 t})$
Сократим $\sin^2 t$:
$\cos^2 t - 1$
Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ следует, что $\cos^2 t - 1 = -\sin^2 t$.
Ответ: $-\sin^2 t$.

г) Исходное выражение: $\frac{\sin^2 t - 1}{\cos^2 t - 1} + \text{tg} t \cdot \text{ctg} t$.
Упростим каждое слагаемое по отдельности.
Первое слагаемое: $\frac{\sin^2 t - 1}{\cos^2 t - 1}$.
Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ получаем: $\sin^2 t - 1 = -\cos^2 t$ и $\cos^2 t - 1 = -\sin^2 t$.
Подставим в дробь:
$\frac{-\cos^2 t}{-\sin^2 t} = \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} = \text{ctg}^2 t$.
Второе слагаемое: $\text{tg} t \cdot \text{ctg} t$.
Произведение тангенса и котангенса одного и того же угла равно 1 (при условии, что оба выражения определены):
$\text{tg} t \cdot \text{ctg} t = 1$.
Теперь сложим упрощенные слагаемые:
$\text{ctg}^2 t + 1$
Используем тригонометрическое тождество $1 + \text{ctg}^2 t = \frac{1}{\sin^2 t}$.
Ответ: $\frac{1}{\sin^2 t}$.