Номер 14.12, страница 95, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

14.12. a) $1 + \sin t = \frac{\cos t + \operatorname{ctg} t}{\operatorname{ctg} t}$;

б) $\frac{\sin t + \operatorname{tg} t}{\operatorname{tg} t} = 1 + \cos t$;

в) $\frac{1 - \sin t}{\cos t} = \frac{\cos t}{1 + \sin t}$;

г) $\frac{\sin t}{1 - \cos t} = \frac{1 + \cos t}{\sin t}$.

а) $1 + \sin t = \frac{\cos t + \text{ctg } t}{\text{ctg } t}$

Для доказательства данного тождества преобразуем его правую часть. Для этого разделим почленно числитель на знаменатель:

$\frac{\cos t + \text{ctg } t}{\text{ctg } t} = \frac{\cos t}{\text{ctg } t} + \frac{\text{ctg } t}{\text{ctg } t} = \frac{\cos t}{\text{ctg } t} + 1$

Теперь воспользуемся определением котангенса: $\text{ctg } t = \frac{\cos t}{\sin t}$. Подставим это выражение в полученную формулу:

$\frac{\cos t}{\frac{\cos t}{\sin t}} + 1 = \cos t \cdot \frac{\sin t}{\cos t} + 1$

После сокращения дроби на $\cos t$ (при условии, что $\cos t \neq 0$) получаем:

$\sin t + 1$

Таким образом, правая часть тождества равна $1 + \sin t$, что совпадает с левой частью. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

б) $\frac{\sin t + \text{tg } t}{\text{tg } t} = 1 + \cos t$

Преобразуем левую часть тождества. Разделим почленно числитель на знаменатель:

$\frac{\sin t + \text{tg } t}{\text{tg } t} = \frac{\sin t}{\text{tg } t} + \frac{\text{tg } t}{\text{tg } t} = \frac{\sin t}{\text{tg } t} + 1$

Используем определение тангенса: $\text{tg } t = \frac{\sin t}{\cos t}$. Подставим это выражение:

$\frac{\sin t}{\frac{\sin t}{\cos t}} + 1 = \sin t \cdot \frac{\cos t}{\sin t} + 1$

Сократим дробь на $\sin t$ (при условии, что $\sin t \neq 0$):

$\cos t + 1$

Левая часть тождества равна $1 + \cos t$, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

в) $\frac{1 - \sin t}{\cos t} = \frac{\cos t}{1 + \sin t}$

Для доказательства этого тождества преобразуем левую часть. Домножим числитель и знаменатель левой дроби на выражение $(1 + \sin t)$, которое является сопряженным к числителю:

$\frac{1 - \sin t}{\cos t} = \frac{(1 - \sin t)(1 + \sin t)}{\cos t (1 + \sin t)}$

В числителе применяем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$\frac{1^2 - \sin^2 t}{\cos t (1 + \sin t)} = \frac{1 - \sin^2 t}{\cos t (1 + \sin t)}$

Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ следует, что $1 - \sin^2 t = \cos^2 t$. Заменим числитель:

$\frac{\cos^2 t}{\cos t (1 + \sin t)}$

Теперь сократим дробь на $\cos t$ (при условии, что $\cos t \neq 0$):

$\frac{\cos t}{1 + \sin t}$

В результате преобразования левая часть стала равна правой. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

г) $\frac{\sin t}{1 - \cos t} = \frac{1 + \cos t}{\sin t}$

Докажем тождество, преобразовав его левую часть. Домножим числитель и знаменатель на выражение $(1 + \cos t)$, сопряженное знаменателю:

$\frac{\sin t}{1 - \cos t} = \frac{\sin t (1 + \cos t)}{(1 - \cos t)(1 + \cos t)}$

В знаменателе используем формулу разности квадратов:

$\frac{\sin t (1 + \cos t)}{1^2 - \cos^2 t} = \frac{\sin t (1 + \cos t)}{1 - \cos^2 t}$

Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ следует, что $1 - \cos^2 t = \sin^2 t$. Подставим это в знаменатель:

$\frac{\sin t (1 + \cos t)}{\sin^2 t}$

Сократим дробь на $\sin t$ (при условии, что $\sin t \neq 0$):

$\frac{1 + \cos t}{\sin t}$

В результате левая часть тождества стала равна правой. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.