Номер 14.16, страница 96, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

14.16. a) $tg t = \frac{3}{4}$, $0 < t < \frac{\pi}{2}$;

б) $tg t = 2,4$, $\pi < t < \frac{3\pi}{2}$;

В) $tg t = -\frac{3}{4}$, $\frac{\pi}{2} < t < \pi$;

Г) $tg t = -\frac{1}{3}$, $\frac{3\pi}{2} < t < 2\pi$.

В данной задаче необходимо найти значения трёх других основных тригонометрических функций ($\sin t$, $\cos t$, $\text{ctg } t$), зная значение $\text{tg } t$ и четверть, в которой находится угол $t$.

Основная формула, которая будет использоваться: $1 + \text{tg}^2 t = \frac{1}{\cos^2 t}$.

Также используются определения: $\text{tg } t = \frac{\sin t}{\cos t}$ (откуда $\sin t = \text{tg } t \cdot \cos t$) и $\text{ctg } t = \frac{1}{\text{tg } t}$.

Дано: $\text{tg } t = \frac{3}{4}$, $0 < t < \frac{\pi}{2}$.

Угол $t$ находится в первой координатной четверти. В этой четверти все тригонометрические функции положительны: $\sin t > 0$, $\cos t > 0$, $\text{ctg } t > 0$.

1. Найдем $\cos t$:

$\cos^2 t = \frac{1}{1 + \text{tg}^2 t} = \frac{1}{1 + (\frac{3}{4})^2} = \frac{1}{1 + \frac{9}{16}} = \frac{1}{\frac{16+9}{16}} = \frac{1}{\frac{25}{16}} = \frac{16}{25}$.

Так как $\cos t > 0$, то $\cos t = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.

2. Найдем $\sin t$:

$\sin t = \text{tg } t \cdot \cos t = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{3}{5}$.

3. Найдем $\text{ctg } t$:

$\text{ctg } t = \frac{1}{\text{tg } t} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}$.

Ответ: $\sin t = \frac{3}{5}$, $\cos t = \frac{4}{5}$, $\text{ctg } t = \frac{4}{3}$.

Дано: $\text{tg } t = 2,4$, $\pi < t < \frac{3\pi}{2}$.

Угол $t$ находится в третьей координатной четверти. В этой четверти $\sin t < 0$, $\cos t < 0$, а $\text{ctg } t > 0$.

Представим $\text{tg } t$ в виде обыкновенной дроби: $2,4 = \frac{24}{10} = \frac{12}{5}$.

1. Найдем $\cos t$:

$\cos^2 t = \frac{1}{1 + \text{tg}^2 t} = \frac{1}{1 + (\frac{12}{5})^2} = \frac{1}{1 + \frac{144}{25}} = \frac{1}{\frac{25+144}{25}} = \frac{1}{\frac{169}{25}} = \frac{25}{169}$.

Так как $\cos t < 0$, то $\cos t = -\sqrt{\frac{25}{169}} = -\frac{5}{13}$.

2. Найдем $\sin t$:

$\sin t = \text{tg } t \cdot \cos t = \frac{12}{5} \cdot (-\frac{5}{13}) = -\frac{12}{13}$.

3. Найдем $\text{ctg } t$:

$\text{ctg } t = \frac{1}{\text{tg } t} = \frac{1}{\frac{12}{5}} = \frac{5}{12}$.

Ответ: $\sin t = -\frac{12}{13}$, $\cos t = -\frac{5}{13}$, $\text{ctg } t = \frac{5}{12}$.

Дано: $\text{tg } t = -\frac{3}{4}$, $\frac{\pi}{2} < t < \pi$.

Угол $t$ находится во второй координатной четверти. В этой четверти $\sin t > 0$, а $\cos t < 0$ и $\text{ctg } t < 0$.

1. Найдем $\cos t$:

$\cos^2 t = \frac{1}{1 + \text{tg}^2 t} = \frac{1}{1 + (-\frac{3}{4})^2} = \frac{1}{1 + \frac{9}{16}} = \frac{1}{\frac{25}{16}} = \frac{16}{25}$.

Так как $\cos t < 0$, то $\cos t = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5}$.

2. Найдем $\sin t$:

$\sin t = \text{tg } t \cdot \cos t = (-\frac{3}{4}) \cdot (-\frac{4}{5}) = \frac{3}{5}$.

3. Найдем $\text{ctg } t$:

$\text{ctg } t = \frac{1}{\text{tg } t} = \frac{1}{-\frac{3}{4}} = -\frac{4}{3}$.

Ответ: $\sin t = \frac{3}{5}$, $\cos t = -\frac{4}{5}$, $\text{ctg } t = -\frac{4}{3}$.

Дано: $\text{tg } t = -\frac{1}{3}$, $\frac{3\pi}{2} < t < 2\pi$.

Угол $t$ находится в четвертой координатной четверти. В этой четверти $\cos t > 0$, а $\sin t < 0$ и $\text{ctg } t < 0$.

1. Найдем $\cos t$:

$\cos^2 t = \frac{1}{1 + \text{tg}^2 t} = \frac{1}{1 + (-\frac{1}{3})^2} = \frac{1}{1 + \frac{1}{9}} = \frac{1}{\frac{10}{9}} = \frac{9}{10}$.

Так как $\cos t > 0$, то $\cos t = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$.

2. Найдем $\sin t$:

$\sin t = \text{tg } t \cdot \cos t = (-\frac{1}{3}) \cdot \frac{3}{\sqrt{10}} = -\frac{1}{\sqrt{10}} = -\frac{\sqrt{10}}{10}$.

3. Найдем $\text{ctg } t$:

$\text{ctg } t = \frac{1}{\text{tg } t} = \frac{1}{-\frac{1}{3}} = -3$.

Ответ: $\sin t = -\frac{\sqrt{10}}{10}$, $\cos t = \frac{3\sqrt{10}}{10}$, $\text{ctg } t = -3$.