Номер 14.22, страница 97, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

14.22. Известно, что $\operatorname{tg}t + \operatorname{ctg}t = 2.3$. Вычислите:

a) $\operatorname{tg}^2 t + \operatorname{ctg}^2 t;$

б) $\operatorname{tg}^3 t + \operatorname{ctg}^3 t.$

а) tg? t + ctg? t;

Нам дано, что $\text{tg}\,t + \text{ctg}\,t = 2,3$. Чтобы найти сумму квадратов $\text{tg}^2 t + \text{ctg}^2 t$, мы можем возвести обе части данного уравнения в квадрат.

Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a = \text{tg}\,t$ и $b = \text{ctg}\,t$.

$(\text{tg}\,t + \text{ctg}\,t)^2 = \text{tg}^2 t + 2 \cdot \text{tg}\,t \cdot \text{ctg}\,t + \text{ctg}^2 t$

По основному тригонометрическому тождеству произведение тангенса и котангенса одного и того же угла равно единице: $\text{tg}\,t \cdot \text{ctg}\,t = 1$.

Подставим это значение в наше уравнение:

$(\text{tg}\,t + \text{ctg}\,t)^2 = \text{tg}^2 t + 2 + \text{ctg}^2 t$

Теперь мы можем выразить искомую сумму квадратов:

$\text{tg}^2 t + \text{ctg}^2 t = (\text{tg}\,t + \text{ctg}\,t)^2 - 2$

Подставим известное значение $\text{tg}\,t + \text{ctg}\,t = 2,3$:

$\text{tg}^2 t + \text{ctg}^2 t = (2,3)^2 - 2 = 5,29 - 2 = 3,29$

Ответ: 3,29.

б) tg? t + ctg? t.

Для вычисления суммы кубов $\text{tg}^3 t + \text{ctg}^3 t$ воспользуемся формулой суммы кубов, выраженной через сумму оснований: $a^3+b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$.

Пусть $a = \text{tg}\,t$ и $b = \text{ctg}\,t$. Применяя формулу, получаем:

$\text{tg}^3 t + \text{ctg}^3 t = (\text{tg}\,t + \text{ctg}\,t)^3 - 3 \cdot \text{tg}\,t \cdot \text{ctg}\,t \cdot (\text{tg}\,t + \text{ctg}\,t)$

Как и в предыдущем пункте, используем то, что $\text{tg}\,t \cdot \text{ctg}\,t = 1$:

$\text{tg}^3 t + \text{ctg}^3 t = (\text{tg}\,t + \text{ctg}\,t)^3 - 3(\text{tg}\,t + \text{ctg}\,t)$

Теперь подставим известное из условия значение $\text{tg}\,t + \text{ctg}\,t = 2,3$:

$\text{tg}^3 t + \text{ctg}^3 t = (2,3)^3 - 3 \cdot (2,3)$

Проведем вычисления:

$(2,3)^3 = 2,3 \cdot 2,3 \cdot 2,3 = 5,29 \cdot 2,3 = 12,167$

$3 \cdot 2,3 = 6,9$

Найдем окончательный результат:

$\text{tg}^3 t + \text{ctg}^3 t = 12,167 - 6,9 = 5,267$

Ответ: 5,267.