Номер 14.27, страница 97, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

14.27. a) Вычислите $ \operatorname{tg} t $, если известно, что $ 5 \sin t - \cos^2 t = 2,36 $ и $ \frac{5\pi}{2} < t < 3\pi $.

б) Вычислите $ \operatorname{ctg} t $, если известно, что $ \sin^2 t + 2 \cos t + 0,56 = 0 $ и $ -\frac{7\pi}{2} < t < -3\pi $.

а)

Дано уравнение $5 \sin t - \cos^2 t = 2,36$. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$, из которого выразим $\cos^2 t = 1 - \sin^2 t$. Подставим это выражение в исходное уравнение: $5 \sin t - (1 - \sin^2 t) = 2,36$ $5 \sin t - 1 + \sin^2 t = 2,36$ $\sin^2 t + 5 \sin t - 3,36 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $x = \sin t$. Так как область значений синуса $[-1; 1]$, то $|x| \le 1$. Получаем квадратное уравнение: $x^2 + 5x - 3,36 = 0$ Решим его через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3,36) = 25 + 13,44 = 38,44$ $\sqrt{D} = \sqrt{38,44} = 6,2$ $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 6,2}{2} = \frac{1,2}{2} = 0,6$ $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 6,2}{2} = \frac{-11,2}{2} = -5,6$

Корень $x_2 = -5,6$ не удовлетворяет условию $|x| \le 1$, поэтому он является посторонним. Следовательно, $\sin t = 0,6$.

По условию, угол $t$ принадлежит интервалу $\frac{5\pi}{2} < t < 3\pi$. Этот интервал соответствует второй координатной четверти, где синус положителен, а косинус отрицателен. Найденное значение $\sin t = 0,6$ положительно, что соответствует условию. Теперь найдем $\cos t$: $\cos^2 t = 1 - \sin^2 t = 1 - (0,6)^2 = 1 - 0,36 = 0,64$ $\cos t = \pm \sqrt{0,64} = \pm 0,8$. Так как $t$ находится во второй четверти, $\cos t < 0$, поэтому $\cos t = -0,8$.

Вычислим тангенс: $\text{tg } t = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{0,6}{-0,8} = -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4} = -0,75$.

Ответ: -0,75.

б)

Дано уравнение $\sin^2 t + 2 \cos t + 0,56 = 0$. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$, из которого выразим $\sin^2 t = 1 - \cos^2 t$. Подставим это выражение в исходное уравнение: $(1 - \cos^2 t) + 2 \cos t + 0,56 = 0$ $-\cos^2 t + 2 \cos t + 1,56 = 0$ Умножим обе части уравнения на -1: $\cos^2 t - 2 \cos t - 1,56 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = \cos t$. Так как область значений косинуса $[-1; 1]$, то $|y| \le 1$. Получаем квадратное уравнение: $y^2 - 2y - 1,56 = 0$ Решим его через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1,56) = 4 + 6,24 = 10,24$ $\sqrt{D} = \sqrt{10,24} = 3,2$ $y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 3,2}{2} = \frac{5,2}{2} = 2,6$ $y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 3,2}{2} = \frac{-1,2}{2} = -0,6$

Корень $y_1 = 2,6$ не удовлетворяет условию $|y| \le 1$, поэтому он является посторонним. Следовательно, $\cos t = -0,6$.

По условию, угол $t$ принадлежит интервалу $-\frac{7\pi}{2} < t < -3\pi$. Чтобы определить четверть, прибавим к границам интервала $4\pi$ (два полных оборота, $2 \cdot 2\pi$): $-\frac{7\pi}{2} + 4\pi < t' < -3\pi + 4\pi$ $\frac{-7\pi + 8\pi}{2} < t' < \pi$ $\frac{\pi}{2} < t' < \pi$ Этот интервал соответствует второй координатной четверти, где косинус отрицателен, а синус положителен. Найденное значение $\cos t = -0,6$ отрицательно, что соответствует условию. Теперь найдем $\sin t$: $\sin^2 t = 1 - \cos^2 t = 1 - (-0,6)^2 = 1 - 0,36 = 0,64$ $\sin t = \pm \sqrt{0,64} = \pm 0,8$. Так как $t$ находится во второй четверти, $\sin t > 0$, поэтому $\sin t = 0,8$.

Вычислим котангенс: $\text{ctg } t = \frac{\cos t}{\sin t} = \frac{-0,6}{0,8} = -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4} = -0,75$.

Ответ: -0,75.