Номер 14.21, страница 97, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

14.21. Известно, что $\sin t + \cos t = 0.6$. Вычислите:

a) $\sin^3 t + \cos^3 t$;

б) $\operatorname{tg} t \sin t + \operatorname{ctg} t \cos t$.

а) Для вычисления $ \sin^3 t + \cos^3 t $ воспользуемся формулой суммы кубов: $ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) $. Применив ее к нашему выражению, получим:

$ \sin^3 t + \cos^3 t = (\sin t + \cos t)(\sin^2 t - \sin t \cos t + \cos^2 t) $

Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 $, выражение можно упростить:

$ \sin^3 t + \cos^3 t = (\sin t + \cos t)(1 - \sin t \cos t) $

Из условия задачи нам известно, что $ \sin t + \cos t = 0.6 $. Чтобы найти произведение $ \sin t \cos t $, возведем исходное равенство в квадрат:

$ (\sin t + \cos t)^2 = 0.6^2 $

$ \sin^2 t + 2\sin t \cos t + \cos^2 t = 0.36 $

$ 1 + 2\sin t \cos t = 0.36 $

$ 2\sin t \cos t = 0.36 - 1 = -0.64 $

$ \sin t \cos t = -0.32 $

Теперь подставим известные значения в формулу для суммы кубов:

$ \sin^3 t + \cos^3 t = 0.6 \cdot (1 - (-0.32)) = 0.6 \cdot (1 + 0.32) = 0.6 \cdot 1.32 = 0.792 $.

Ответ: $0.792$

б) Для вычисления выражения $ \operatorname{tg} t \sin t + \operatorname{ctg} t \cos t $ сначала выразим тангенс и котангенс через синус и косинус:

$ \operatorname{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t} $, $ \operatorname{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t} $

Подставим эти определения в исходное выражение:

$ \frac{\sin t}{\cos t} \cdot \sin t + \frac{\cos t}{\sin t} \cdot \cos t = \frac{\sin^2 t}{\cos t} + \frac{\cos^2 t}{\sin t} $

Приведем дроби к общему знаменателю $ \sin t \cos t $:

$ \frac{\sin^2 t \cdot \sin t + \cos^2 t \cdot \cos t}{\sin t \cos t} = \frac{\sin^3 t + \cos^3 t}{\sin t \cos t} $

Значения числителя и знаменателя нам уже известны из решения пункта а):

$ \sin^3 t + \cos^3 t = 0.792 $

$ \sin t \cos t = -0.32 $

Подставим эти значения в полученную дробь и выполним вычисление:

$ \frac{0.792}{-0.32} = -\frac{792}{320} = -\frac{99 \times 8}{40 \times 8} = -\frac{99}{40} = -2.475 $

Ответ: $-2.475$