Номер 14.26, страница 97, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

14.26. a) Вычислите $ \operatorname{tg} t $, если известно, что $ \frac{\sin t + 3\cos t}{\sin t - 3\cos t} = 4 $.

б) Вычислите $ \operatorname{ctg} t $, если известно, что $ \frac{2\sin t - 3\cos t}{2\cos t - 3\sin t} = 3 $.

а) Для вычисления $ \tg t $ из заданного уравнения $ \frac{\sin t + 3\cos t}{\sin t - 3\cos t} = 4 $ разделим числитель и знаменатель дроби в левой части на $ \cos t $. Такое деление возможно, поскольку если предположить, что $ \cos t = 0 $, то исходное уравнение примет вид $ \frac{\sin t}{\sin t} = 1 $, что противоречит условию $ 1 = 4 $. Следовательно, $ \cos t \neq 0 $.
Выполнив деление, получаем:
$ \frac{\frac{\sin t}{\cos t} + \frac{3\cos t}{\cos t}}{\frac{\sin t}{\cos t} - \frac{3\cos t}{\cos t}} = 4 $
Поскольку $ \tg t = \frac{\sin t}{\cos t} $, уравнение преобразуется к виду:
$ \frac{\tg t + 3}{\tg t - 3} = 4 $
Теперь решим это уравнение относительно $ \tg t $:
$ \tg t + 3 = 4(\tg t - 3) $
$ \tg t + 3 = 4\tg t - 12 $
$ 3 + 12 = 4\tg t - \tg t $
$ 15 = 3\tg t $
$ \tg t = \frac{15}{3} = 5 $
Ответ: 5

б) Для вычисления $ \ctg t $ из заданного уравнения $ \frac{2\sin t - 3\cos t}{2\cos t - 3\sin t} = 3 $ разделим числитель и знаменатель дроби в левой части на $ \sin t $. Такое деление возможно, поскольку если предположить, что $ \sin t = 0 $, то исходное уравнение примет вид $ \frac{-3\cos t}{2\cos t} = -\frac{3}{2} $, что противоречит условию $ -\frac{3}{2} = 3 $. Следовательно, $ \sin t \neq 0 $.
Выполнив деление, получаем:
$ \frac{\frac{2\sin t}{\sin t} - \frac{3\cos t}{\sin t}}{\frac{2\cos t}{\sin t} - \frac{3\sin t}{\sin t}} = 3 $
Поскольку $ \ctg t = \frac{\cos t}{\sin t} $, уравнение преобразуется к виду:
$ \frac{2 - 3\ctg t}{2\ctg t - 3} = 3 $
Теперь решим это уравнение относительно $ \ctg t $:
$ 2 - 3\ctg t = 3(2\ctg t - 3) $
$ 2 - 3\ctg t = 6\ctg t - 9 $
$ 2 + 9 = 6\ctg t + 3\ctg t $
$ 11 = 9\ctg t $
$ \ctg t = \frac{11}{9} $
Ответ: $ \frac{11}{9} $