Номер 14.25, страница 97, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

14.25. Вычислите:

a) $\sin t + \cos t$, если $\text{tg } t - \frac{1}{\text{tg } t} = -\frac{7}{12}$ и $0 < t < \frac{\pi}{2}$;

б) $2 \sin t + \cos t$, если $4 \text{ctg } t + 6 \text{tg } t + 11 = 0$ и $\frac{5\pi}{2} < t < \frac{11\pi}{4}$.

а) Вычислить $\sin t + \cos t$, если $\tg t - \frac{1}{\tg t} = -\frac{7}{12}$ и $0 < t < \frac{\pi}{2}$.

Для решения преобразуем данное уравнение. Сделаем замену $x = \tg t$. Уравнение примет вид:

$x - \frac{1}{x} = -\frac{7}{12}$

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части уравнения на $12x$. Учитываем, что $x \neq 0$, так как в исходном уравнении присутствует $\frac{1}{\tg t}$.

$12x^2 - 12 = -7x$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$12x^2 + 7x - 12 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 7^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-12) = 49 + 576 = 625 = 25^2$

Корни уравнения $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-7 + 25}{2 \cdot 12} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4}$

$x_2 = \frac{-7 - 25}{2 \cdot 12} = \frac{-32}{24} = -\frac{4}{3}$

Мы получили два возможных значения для $\tg t$: $\frac{3}{4}$ и $-\frac{4}{3}$.

По условию задачи, угол $t$ находится в интервале $0 < t < \frac{\pi}{2}$, что соответствует первой координатной четверти. В этой четверти все тригонометрические функции ($\sin t$, $\cos t$, $\tg t$) положительны. Следовательно, нам подходит только корень $\tg t = \frac{3}{4}$.

Теперь найдем значения $\sin t$ и $\cos t$. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $1 + \tg^2 t = \frac{1}{\cos^2 t}$:

$1 + \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{1}{\cos^2 t}$

$1 + \frac{9}{16} = \frac{1}{\cos^2 t}$

$\frac{16+9}{16} = \frac{25}{16} = \frac{1}{\cos^2 t}$

Отсюда $\cos^2 t = \frac{16}{25}$.

Так как $t$ находится в первой четверти, $\cos t$ положителен: $\cos t = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.

Теперь найдем $\sin t$, используя определение тангенса $\sin t = \tg t \cdot \cos t$:

$\sin t = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{3}{5}$.

Наконец, вычислим искомое выражение $\sin t + \cos t$:

$\sin t + \cos t = \frac{3}{5} + \frac{4}{5} = \frac{7}{5}$.

Ответ: $\frac{7}{5}$.

б) Вычислить $2\sin t + \cos t$, если $4\ctg t + 6\tg t + 11 = 0$ и $\frac{5\pi}{2} < t < \frac{11\pi}{4}$.

Преобразуем данное уравнение, используя тождество $\ctg t = \frac{1}{\tg t}$. Сделаем замену $x = \tg t$:

$4\left(\frac{1}{x}\right) + 6x + 11 = 0$

Умножим обе части уравнения на $x$ (где $x \neq 0$):

$4 + 6x^2 + 11x = 0$

Запишем в стандартном виде:

$6x^2 + 11x + 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 11^2 - 4 \cdot 6 \cdot 4 = 121 - 96 = 25 = 5^2$

Корни уравнения $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-11 + 5}{2 \cdot 6} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{-11 - 5}{2 \cdot 6} = \frac{-16}{12} = -\frac{4}{3}$

Получены два возможных значения для $\tg t$: $-\frac{1}{2}$ и $-\frac{4}{3}$.

Теперь проанализируем интервал $\frac{5\pi}{2} < t < \frac{11\pi}{4}$. Вычтем из границ интервала период $2\pi = \frac{8\pi}{4}$ для определения положения угла на единичной окружности:

$\frac{5\pi}{2} - \frac{8\pi}{4} = \frac{10\pi}{4} - \frac{8\pi}{4} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$

$\frac{11\pi}{4} - \frac{8\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$

Таким образом, угол $t$ находится в интервале, эквивалентном $\frac{\pi}{2} < t < \frac{3\pi}{4}$, что является второй координатной четвертью.

В этом интервале функция $\tg t$ возрастает от $-\infty$ до $\tg\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -1$. Это означает, что для любого угла $t$ из заданного интервала значение $\tg t$ должно быть меньше $-1$.

Сравним найденные корни с этим условием:

• $\tg t = -\frac{1}{2} = -0.5$. Это значение больше $-1$, поэтому оно не удовлетворяет условию.
• $\tg t = -\frac{4}{3} \approx -1.33$. Это значение меньше $-1$, значит, оно является верным.

Итак, $\tg t = -\frac{4}{3}$.

Теперь найдем $\sin t$ и $\cos t$. Из тождества $1 + \tg^2 t = \frac{1}{\cos^2 t}$:

$1 + \left(-\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{1}{\cos^2 t}$

$1 + \frac{16}{9} = \frac{1}{\cos^2 t}$

$\frac{25}{9} = \frac{1}{\cos^2 t} \implies \cos^2 t = \frac{9}{25}$

Во второй четверти косинус отрицателен, поэтому $\cos t = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5}$.

Найдем синус: $\sin t = \tg t \cdot \cos t = \left(-\frac{4}{3}\right) \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = \frac{4}{5}$. (Во второй четверти синус положителен, что соответствует результату).

Наконец, вычислим искомое выражение $2\sin t + \cos t$:

$2\sin t + \cos t = 2 \cdot \frac{4}{5} + \left(-\frac{3}{5}\right) = \frac{8}{5} - \frac{3}{5} = \frac{5}{5} = 1$.

Ответ: $1$.