Номер 14.32, страница 98, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

14.32. a) $\sqrt{\sin^2 t - \operatorname{ctg}^2 t + \cos^2 t - 1} + \sqrt{\cos^{-2} t - \operatorname{tg}^2 t + \sin^2 t - 1 + 2\sin t - \cos t}$, если $t \in (13; 14);$

б) $\sqrt{\sin^2 t(1 - 2\operatorname{ctg}t) + 4\cos^2 t(1 - 0,5\operatorname{tg}t)} + \sin t + \cos t$, если $t \in (0; 1).$

а)

Упростим выражения под знаками корня, используя основные тригонометрические тождества.

Для первого подкоренного выражения $ \sin^{-2}t - \operatorname{ctg}^2 t + \cos^2 t - 1 $ воспользуемся тождеством $ 1 + \operatorname{ctg}^2 t = \frac{1}{\sin^2 t} $. Отсюда $ \sin^{-2}t - \operatorname{ctg}^2 t = \frac{1}{\sin^2 t} - \operatorname{ctg}^2 t = 1 $.
Тогда выражение под первым корнем равно $ 1 + \cos^2 t - 1 = \cos^2 t $.

Для второго подкоренного выражения $ \cos^{-2}t - \operatorname{tg}^2 t + \sin^2 t - 1 $ воспользуемся тождеством $ 1 + \operatorname{tg}^2 t = \frac{1}{\cos^2 t} $. Отсюда $ \cos^{-2}t - \operatorname{tg}^2 t = \frac{1}{\cos^2 t} - \operatorname{tg}^2 t = 1 $.
Тогда выражение под вторым корнем равно $ 1 + \sin^2 t - 1 = \sin^2 t $.

Исходное выражение преобразуется к виду:
$ \sqrt{\cos^2 t} + \sqrt{\sin^2 t} + 2\sin t - \cos t = |\cos t| + |\sin t| + 2\sin t - \cos t $.

Теперь определим знаки $ \sin t $ и $ \cos t $ для $ t \in (13; 14) $. Угол $ t $ дан в радианах.
Используем приближенное значение $ \pi \approx 3.14159 $. Вычислим границы четвертей, близкие к заданному интервалу: $ 4\pi \approx 12.566 $ и $ \frac{9\pi}{2} = 4\pi + \frac{\pi}{2} \approx 14.137 $.

Поскольку $ 4\pi < 13 < 14 < \frac{9\pi}{2} $, угол $ t $ (с точностью до полного оборота в $ 4\pi $) находится в интервале $ (0, \pi/2) $, то есть в первой координатной четверти.

В первой четверти $ \sin t > 0 $ и $ \cos t > 0 $. Следовательно, $ |\sin t| = \sin t $ и $ |\cos t| = \cos t $.

Подставляем в преобразованное выражение:
$ \cos t + \sin t + 2\sin t - \cos t = (\cos t - \cos t) + (\sin t + 2\sin t) = 3\sin t $.

Ответ: $3\sin t$.

б)

Упростим выражение под знаком корня: $ \sqrt{\sin^2 t(1 - 2\operatorname{ctg}t) + 4\cos^2 t(1 - 0.5\operatorname{tg}t)} $.
Раскроем скобки, используя определения $ \operatorname{ctg}t = \frac{\cos t}{\sin t} $ и $ \operatorname{tg}t = \frac{\sin t}{\cos t} $:
$ \sin^2 t - 2\sin^2 t \cdot \frac{\cos t}{\sin t} + 4\cos^2 t - 4\cos^2 t \cdot 0.5 \frac{\sin t}{\cos t} $
$ = \sin^2 t - 2\sin t \cos t + 4\cos^2 t - 2\sin t \cos t $
$ = \sin^2 t - 4\sin t \cos t + 4\cos^2 t $.

Заметим, что полученное выражение является полным квадратом разности: $ (\sin t - 2\cos t)^2 $.

Тогда все выражение можно переписать в виде:
$ \sqrt{(\sin t - 2\cos t)^2} + \sin t + \cos t = |\sin t - 2\cos t| + \sin t + \cos t $.

Теперь определим знак выражения $ \sin t - 2\cos t $ при $ t \in (0; 1) $. Угол $ t $ дан в радианах.
На интервале $ (0; 1) $ (что соответствует первой четверти, так как $ 1 < \pi/2 \approx 1.57 $), $ \cos t > 0 $. Поэтому знак выражения $ \sin t - 2\cos t $ совпадает со знаком выражения $ \frac{\sin t - 2\cos t}{\cos t} = \operatorname{tg}t - 2 $.

Функция $ y = \operatorname{tg}t $ возрастает на интервале $ (0; \pi/2) $. Найдем значение, при котором $ \operatorname{tg}t = 2 $. Это $ t_0 = \arctan(2) \approx 1.107 $ радиан.
Поскольку для любого $ t \in (0; 1) $ выполняется неравенство $ t < 1.107 \approx \arctan(2) $, и функция тангенса возрастающая, то $ \operatorname{tg}t < \operatorname{tg}(\arctan(2)) = 2 $.

Значит, $ \operatorname{tg}t - 2 < 0 $, и, следовательно, $ \sin t - 2\cos t < 0 $.
Поэтому, $ |\sin t - 2\cos t| = -(\sin t - 2\cos t) = 2\cos t - \sin t $.

Подставим это в выражение:
$ (2\cos t - \sin t) + \sin t + \cos t = 3\cos t $.

Ответ: $3\cos t$.