Номер 14.35, страница 98, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

14.35. a) $y = \operatorname{tg} x \operatorname{ctg} x;$

б) $y = 3 \cos^2 x + 2 \operatorname{tg} x \operatorname{ctg} x + 3 \sin^2 x.$

а) $y = \text{tg } x \cdot \text{ctg } x$

Чтобы упростить данное выражение, сначала найдем его область допустимых значений (ОДЗ).

1. Определение ОДЗ.
Функция $\text{tg } x$ определена при условии, что $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Функция $\text{ctg } x$ определена при условии, что $\sin x \neq 0$, то есть $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Таким образом, исходное выражение имеет смысл, когда одновременно выполнены оба условия. Это соответствует всем значениям $x$, для которых $x \neq \frac{\pi m}{2}$, где $m \in \mathbb{Z}$.

2. Упрощение выражения.
В области допустимых значений используется основное тригонометрическое тождество, связывающее тангенс и котангенс: $\text{tg } x \cdot \text{ctg } x = 1$.
Можно также прийти к этому результату, используя определения: $y = \text{tg } x \cdot \text{ctg } x = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\cos x}{\sin x}$.
Поскольку в ОДЗ $\sin x \neq 0$ и $\cos x \neq 0$, можно сократить дроби, что дает $y = 1$.

Ответ: $y=1$ при $x \neq \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.

б) $y = 3\cos^2 x + 2\text{tg } x \cdot \text{ctg } x + 3\sin^2 x$

Для упрощения этого выражения также начнем с нахождения ОДЗ, а затем выполним преобразования.

1. Определение ОДЗ.
Выражение содержит произведение $\text{tg } x \cdot \text{ctg } x$, поэтому, как и в пункте а), область допустимых значений определяется условиями $\cos x \neq 0$ и $\sin x \neq 0$.
Следовательно, ОДЗ: $x \neq \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Упрощение выражения.
Сгруппируем слагаемые для удобства:
$y = (3\cos^2 x + 3\sin^2 x) + (2\text{tg } x \cdot \text{ctg } x)$.
Упростим каждую группу по отдельности.
Для первой группы вынесем общий множитель 3 за скобки и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:
$3\cos^2 x + 3\sin^2 x = 3(\cos^2 x + \sin^2 x) = 3 \cdot 1 = 3$.
Для второй группы, как мы уже знаем, в области допустимых значений $\text{tg } x \cdot \text{ctg } x = 1$:
$2\text{tg } x \cdot \text{ctg } x = 2 \cdot 1 = 2$.
Теперь сложим полученные значения:
$y = 3 + 2 = 5$.

Ответ: $y=5$ при $x \neq \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.