Номер 14.34, страница 98, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Постройте график функции:

14.34. a) $y = \cos^2 x + \sin^2 x;$

б) $y = \cos^2 \frac{1}{x} + \sin^2 \frac{1}{x};$

в) $y = \sin^2 \sqrt{x} + \cos^2 \sqrt{x};$

г) $y = \sin^2 \frac{1}{x^2 - 4} + \cos^2 \frac{1}{x^2 - 4}.$

а) $y = \cos^2 x + \sin^2 x$

В основе решения лежит основное тригонометрическое тождество: $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$. В данном случае аргумент $\alpha = x$.

Таким образом, при любом значении $x$, для которого определены $\sin x$ и $\cos x$, выражение будет равно 1.

Область определения функции (ОДЗ): функции $\sin x$ и $\cos x$ определены для всех действительных чисел. Следовательно, $x \in (-\infty; +\infty)$.

Функция тождественно равна $y=1$ для всех $x$. Графиком этой функции является прямая, параллельная оси абсцисс (оси Ox) и проходящая через точку $(0, 1)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y=1$.

б) $y = \cos^2 \frac{1}{x} + \sin^2 \frac{1}{x}$

Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$, где на этот раз $\alpha = \frac{1}{x}$. Таким образом, функция упрощается до $y=1$.

Однако необходимо учесть область определения функции (ОДЗ). Аргумент $\frac{1}{x}$ определен не для всех $x$. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$.

Следовательно, функция $y=1$ определена для всех $x$, кроме $x=0$. Графиком является прямая $y=1$ с "выколотой" (удаленной) точкой, абсцисса которой равна 0. Координаты этой точки — $(0, 1)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y=1$ с выколотой точкой $(0, 1)$.

в) $y = \sin^2 \sqrt{x} + \cos^2 \sqrt{x}$

Снова применяем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, где $\alpha = \sqrt{x}$. Функция принимает вид $y=1$.

Найдем область определения функции (ОДЗ). Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

Значит, функция $y=1$ определена только для $x \ge 0$. Графиком является часть прямой $y=1$, которая начинается в точке $(0, 1)$ (включая эту точку) и продолжается вправо в бесконечность. Такой график называется лучом.

Ответ: Графиком функции является луч, выходящий из точки $(0, 1)$ и идущий вправо параллельно оси Ox.

г) $y = \sin^2 \frac{1}{x^2 - 4} + \cos^2 \frac{1}{x^2 - 4}$

По основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, где $\alpha = \frac{1}{x^2 - 4}$, функция упрощается до $y=1$.

Найдем область определения функции (ОДЗ). Знаменатель дроби в аргументе не должен быть равен нулю: $x^2 - 4 \neq 0$.

Решаем уравнение $x^2 - 4 = 0$:
$x^2 = 4$
$x_1 = 2$, $x_2 = -2$.

Таким образом, область определения: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

Графиком функции является прямая $y=1$ с двумя выколотыми точками, абсциссы которых $x=-2$ и $x=2$. Координаты выколотых точек: $(-2, 1)$ и $(2, 1)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y=1$ с выколотыми точками $(-2, 1)$ и $(2, 1)$.