Номер 14.31, страница 98, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Упростите выражение:

14.31. a) $\sqrt{\frac{1 + \cos t}{1 - \cos t}} + \sqrt{\frac{1 - \cos t}{1 + \cos t}} + \frac{2}{\sin t}$, если $3\pi < t < \frac{7\pi}{2}$

б) $\sqrt{\frac{1 - \sin t}{1 + \sin t}} + \operatorname{tg} t$, если $2\pi < t < \frac{5\pi}{2}$

a)

Дано выражение $ \sqrt{\frac{1 + \cos t}{1 - \cos t}} + \sqrt{\frac{1 - \cos t}{1 + \cos t}} + \frac{2}{\sin t} $ при условии $ 3\pi < t < \frac{7\pi}{2} $.

Сначала упростим выражения под корнем. Умножим числитель и знаменатель подкоренного выражения на сопряженное знаменателю:

$ \sqrt{\frac{1 + \cos t}{1 - \cos t}} = \sqrt{\frac{(1 + \cos t)(1 + \cos t)}{(1 - \cos t)(1 + \cos t)}} = \sqrt{\frac{(1 + \cos t)^2}{1 - \cos^2 t}} = \sqrt{\frac{(1 + \cos t)^2}{\sin^2 t}} = \frac{|1 + \cos t|}{|\sin t|} $

Аналогично для второго слагаемого:

$ \sqrt{\frac{1 - \cos t}{1 + \cos t}} = \sqrt{\frac{(1 - \cos t)(1 - \cos t)}{(1 + \cos t)(1 - \cos t)}} = \sqrt{\frac{(1 - \cos t)^2}{1 - \cos^2 t}} = \sqrt{\frac{(1 - \cos t)^2}{\sin^2 t}} = \frac{|1 - \cos t|}{|\sin t|} $

Исходное выражение принимает вид:

$ \frac{|1 + \cos t|}{|\sin t|} + \frac{|1 - \cos t|}{|\sin t|} + \frac{2}{\sin t} $

Теперь определим знаки выражений под модулем в заданном интервале $ 3\pi < t < \frac{7\pi}{2} $. Этот интервал соответствует III координатной четверти (если вычесть период $2\pi$, получим эквивалентный интервал $ \pi < t' < \frac{3\pi}{2} $).

В III четверти синус отрицателен, то есть $ \sin t < 0 $. Следовательно, $ |\sin t| = -\sin t $.

Для любого $t$ выполняется неравенство $ -1 \le \cos t \le 1 $, поэтому выражения $ 1 + \cos t $ и $ 1 - \cos t $ всегда неотрицательны. Так как $t$ находится строго внутри интервала, равенство нулю не достигается.

Таким образом, $ |1 + \cos t| = 1 + \cos t $ и $ |1 - \cos t| = 1 - \cos t $.

Подставим раскрытые модули в выражение:

$ \frac{1 + \cos t}{-\sin t} + \frac{1 - \cos t}{-\sin t} + \frac{2}{\sin t} $

Приведем все слагаемые к общему знаменателю $ \sin t $:

$ \frac{-(1 + \cos t) - (1 - \cos t) + 2}{\sin t} = \frac{-1 - \cos t - 1 + \cos t + 2}{\sin t} = \frac{-2 + 2}{\sin t} = \frac{0}{\sin t} = 0 $

Ответ: 0

б)

Дано выражение $ \sqrt{\frac{1 - \sin t}{1 + \sin t}} + \text{tg } t $ при условии $ 2\pi < t < \frac{5\pi}{2} $.

Упростим выражение под корнем, умножив числитель и знаменатель на $ (1 - \sin t) $:

$ \sqrt{\frac{1 - \sin t}{1 + \sin t}} = \sqrt{\frac{(1 - \sin t)(1 - \sin t)}{(1 + \sin t)(1 - \sin t)}} = \sqrt{\frac{(1 - \sin t)^2}{1 - \sin^2 t}} = \sqrt{\frac{(1 - \sin t)^2}{\cos^2 t}} = \frac{|1 - \sin t|}{|\cos t|} $

Определим знаки выражений под модулем в заданном интервале $ 2\pi < t < \frac{5\pi}{2} $. Этот интервал соответствует I координатной четверти.

В I четверти косинус положителен, то есть $ \cos t > 0 $. Следовательно, $ |\cos t| = \cos t $.

Также в I четверти $ 0 < \sin t < 1 $, поэтому $ 1 - \sin t > 0 $. Следовательно, $ |1 - \sin t| = 1 - \sin t $.

Подставим раскрытые модули в исходное выражение:

$ \frac{1 - \sin t}{\cos t} + \text{tg } t $

Заменим $ \text{tg } t $ на $ \frac{\sin t}{\cos t} $ и выполним сложение:

$ \frac{1 - \sin t}{\cos t} + \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{1 - \sin t + \sin t}{\cos t} = \frac{1}{\cos t} $

Ответ: $ \frac{1}{\cos t} $