Номер 14.24, страница 97, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

14.24. Известно, что $ \sin t \cos t = -\frac{12}{49} $. Вычислите:

a) $ \text{tg} t + \text{ctg} t $;

б) $ \text{tg}^2 t + \text{ctg}^2 t $.

а) tg t + ctg t;

Для вычисления значения выражения $\text{tg } t + \text{ctg } t$ воспользуемся определениями тангенса и котангенса через синус и косинус:

$\text{tg } t = \frac{\sin t}{\cos t}$

$\text{ctg } t = \frac{\cos t}{\sin t}$

Сложим эти два выражения и приведем их к общему знаменателю:

$\text{tg } t + \text{ctg } t = \frac{\sin t}{\cos t} + \frac{\cos t}{\sin t} = \frac{\sin^2 t + \cos^2 t}{\sin t \cos t}$

Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$:

$\text{tg } t + \text{ctg } t = \frac{1}{\sin t \cos t}$

Теперь подставим в полученное выражение заданное в условии значение $\sin t \cos t = -\frac{12}{49}$:

$\text{tg } t + \text{ctg } t = \frac{1}{-\frac{12}{49}} = -\frac{49}{12}$

Ответ: $-\frac{49}{12}$

б) tg? t + ctg? t.

Для нахождения суммы $\text{tg}^2 t + \text{ctg}^2 t$ воспользуемся результатом, полученным в пункте а).

Рассмотрим квадрат выражения $\text{tg } t + \text{ctg } t$:

$(\text{tg } t + \text{ctg } t)^2 = \text{tg}^2 t + 2 \cdot \text{tg } t \cdot \text{ctg } t + \text{ctg}^2 t$

Поскольку произведение тангенса на котангенс одного и того же угла равно единице ($\text{tg } t \cdot \text{ctg } t = 1$), формула упрощается:

$(\text{tg } t + \text{ctg } t)^2 = \text{tg}^2 t + 2 + \text{ctg}^2 t$

Отсюда можно выразить искомую сумму квадратов:

$\text{tg}^2 t + \text{ctg}^2 t = (\text{tg } t + \text{ctg } t)^2 - 2$

Из пункта а) мы знаем, что $\text{tg } t + \text{ctg } t = -\frac{49}{12}$. Подставим это значение:

$\text{tg}^2 t + \text{ctg}^2 t = \left(-\frac{49}{12}\right)^2 - 2 = \frac{49^2}{12^2} - 2 = \frac{2401}{144} - 2$

Приведем разность к общему знаменателю:

$\frac{2401}{144} - \frac{2 \cdot 144}{144} = \frac{2401 - 288}{144} = \frac{2113}{144}$

Ответ: $\frac{2113}{144}$