Страница 97, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

14.19. a) Дано: $\cos t = -\frac{5}{13}$, $8,5\pi < t < 9\pi$. Вычислите: $\sin (-t)$.

б) Дано: $\sin t = \frac{4}{5}$, $\frac{9\pi}{2} < t < 5\pi$. Вычислите: $\cos (-t) + \sin (-t)$.

а)

Требуется вычислить $ \sin(-t) $. Воспользуемся свойством нечетности синуса: $ \sin(-t) = -\sin t $. Таким образом, задача сводится к нахождению $ \sin t $.

Мы знаем значение $ \cos t = -\frac{5}{13} $. Применим основное тригонометрическое тождество: $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 $.

Выразим из него $ \sin^2 t $: $ \sin^2 t = 1 - \cos^2 t $ $ \sin^2 t = 1 - \left(-\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169-25}{169} = \frac{144}{169} $

Отсюда $ \sin t = \pm\sqrt{\frac{144}{169}} = \pm\frac{12}{13} $.

Чтобы выбрать правильный знак, определим, в какой четверти находится угол $ t $. По условию, $ 8,5\pi < t < 9\pi $. Это можно переписать как $ 8\pi + \frac{\pi}{2} < t < 8\pi + \pi $. Отбрасывая полные обороты ($ 8\pi = 4 \cdot 2\pi $), получаем, что угол $ t $ находится в том же положении, что и угол в интервале $ (\frac{\pi}{2}, \pi) $. Это вторая координатная четверть.

Во второй четверти синус положителен, значит, $ \sin t = \frac{12}{13} $.

Теперь можем вычислить искомое значение: $ \sin(-t) = -\sin t = -\frac{12}{13} $.

Ответ: $ -\frac{12}{13} $

б)

Требуется вычислить выражение $ \cos(-t) + \sin(-t) $. Используем свойства четности косинуса и нечетности синуса: $ \cos(-t) = \cos t $ $ \sin(-t) = -\sin t $

Таким образом, выражение преобразуется к виду: $ \cos t - \sin t $.

Нам дано значение $ \sin t = \frac{4}{5} $. Найдем $ \cos t $, используя основное тригонометрическое тождество: $ \cos^2 t = 1 - \sin^2 t $ $ \cos^2 t = 1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25-16}{25} = \frac{9}{25} $

Отсюда $ \cos t = \pm\sqrt{\frac{9}{25}} = \pm\frac{3}{5} $.

Определим знак косинуса. По условию, $ \frac{9\pi}{2} < t < 5\pi $. Перепишем интервал: $ 4,5\pi < t < 5\pi $, что равносильно $ 4\pi + \frac{\pi}{2} < t < 4\pi + \pi $. Отбросив полные обороты ($ 4\pi = 2 \cdot 2\pi $), получаем, что угол $ t $ находится в том же положении, что и угол в интервале $ (\frac{\pi}{2}, \pi) $. Это вторая координатная четверть.

Во второй четверти косинус отрицателен, следовательно, $ \cos t = -\frac{3}{5} $.

Теперь подставим найденные значения в преобразованное выражение: $ \cos t - \sin t = -\frac{3}{5} - \frac{4}{5} = -\frac{3+4}{5} = -\frac{7}{5} $.

Ответ: $ -\frac{7}{5} $

14.20. a) Известно, что $\sin t + \cos t = 0,8$. Вычислите: $\sin t \cos t$.

б) Известно, что $\sin t - \cos t = \frac{1}{3}$. Вычислите: $9 \sin t \cos t$.

а)

Дано равенство $\sin t + \cos t = 0,8$. Чтобы найти произведение $\sin t \cos t$, возведем обе части данного равенства в квадрат:

$(\sin t + \cos t)^2 = (0,8)^2$

Используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, раскроем скобки в левой части:

$\sin^2 t + 2 \sin t \cos t + \cos^2 t = 0,64$

Сгруппируем слагаемые и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$:

$(\sin^2 t + \cos^2 t) + 2 \sin t \cos t = 0,64$

$1 + 2 \sin t \cos t = 0,64$

Теперь выразим искомое произведение $\sin t \cos t$:

$2 \sin t \cos t = 0,64 - 1$

$2 \sin t \cos t = -0,36$

$\sin t \cos t = \frac{-0,36}{2}$

$\sin t \cos t = -0,18$

Ответ: -0,18.

б)

Дано равенство $\sin t - \cos t = \frac{1}{3}$. Чтобы найти значение выражения $9 \sin t \cos t$, сначала найдем произведение $\sin t \cos t$. Для этого возведем обе части данного равенства в квадрат:

$(\sin t - \cos t)^2 = (\frac{1}{3})^2$

Используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, раскроем скобки в левой части:

$\sin^2 t - 2 \sin t \cos t + \cos^2 t = \frac{1}{9}$

Сгруппируем слагаемые и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$:

$(\sin^2 t + \cos^2 t) - 2 \sin t \cos t = \frac{1}{9}$

$1 - 2 \sin t \cos t = \frac{1}{9}$

Теперь выразим произведение $\sin t \cos t$:

$-2 \sin t \cos t = \frac{1}{9} - 1$

$-2 \sin t \cos t = \frac{1}{9} - \frac{9}{9}$

$-2 \sin t \cos t = -\frac{8}{9}$

$2 \sin t \cos t = \frac{8}{9}$

$\sin t \cos t = \frac{8}{9 \cdot 2} = \frac{4}{9}$

Теперь вычислим значение требуемого выражения, подставив найденное значение произведения:

$9 \sin t \cos t = 9 \cdot \frac{4}{9} = 4$

Ответ: 4.

14.21. Известно, что $\sin t + \cos t = 0.6$. Вычислите:

a) $\sin^3 t + \cos^3 t$;

б) $\operatorname{tg} t \sin t + \operatorname{ctg} t \cos t$.

а) Для вычисления $ \sin^3 t + \cos^3 t $ воспользуемся формулой суммы кубов: $ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) $. Применив ее к нашему выражению, получим:

$ \sin^3 t + \cos^3 t = (\sin t + \cos t)(\sin^2 t - \sin t \cos t + \cos^2 t) $

Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 $, выражение можно упростить:

$ \sin^3 t + \cos^3 t = (\sin t + \cos t)(1 - \sin t \cos t) $

Из условия задачи нам известно, что $ \sin t + \cos t = 0.6 $. Чтобы найти произведение $ \sin t \cos t $, возведем исходное равенство в квадрат:

$ (\sin t + \cos t)^2 = 0.6^2 $

$ \sin^2 t + 2\sin t \cos t + \cos^2 t = 0.36 $

$ 1 + 2\sin t \cos t = 0.36 $

$ 2\sin t \cos t = 0.36 - 1 = -0.64 $

$ \sin t \cos t = -0.32 $

Теперь подставим известные значения в формулу для суммы кубов:

$ \sin^3 t + \cos^3 t = 0.6 \cdot (1 - (-0.32)) = 0.6 \cdot (1 + 0.32) = 0.6 \cdot 1.32 = 0.792 $.

Ответ: $0.792$

б) Для вычисления выражения $ \operatorname{tg} t \sin t + \operatorname{ctg} t \cos t $ сначала выразим тангенс и котангенс через синус и косинус:

$ \operatorname{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t} $, $ \operatorname{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t} $

Подставим эти определения в исходное выражение:

$ \frac{\sin t}{\cos t} \cdot \sin t + \frac{\cos t}{\sin t} \cdot \cos t = \frac{\sin^2 t}{\cos t} + \frac{\cos^2 t}{\sin t} $

Приведем дроби к общему знаменателю $ \sin t \cos t $:

$ \frac{\sin^2 t \cdot \sin t + \cos^2 t \cdot \cos t}{\sin t \cos t} = \frac{\sin^3 t + \cos^3 t}{\sin t \cos t} $

Значения числителя и знаменателя нам уже известны из решения пункта а):

$ \sin^3 t + \cos^3 t = 0.792 $

$ \sin t \cos t = -0.32 $

Подставим эти значения в полученную дробь и выполним вычисление:

$ \frac{0.792}{-0.32} = -\frac{792}{320} = -\frac{99 \times 8}{40 \times 8} = -\frac{99}{40} = -2.475 $

Ответ: $-2.475$

14.22. Известно, что $\operatorname{tg}t + \operatorname{ctg}t = 2.3$. Вычислите:

a) $\operatorname{tg}^2 t + \operatorname{ctg}^2 t;$

б) $\operatorname{tg}^3 t + \operatorname{ctg}^3 t.$

а) tg? t + ctg? t;

Нам дано, что $\text{tg}\,t + \text{ctg}\,t = 2,3$. Чтобы найти сумму квадратов $\text{tg}^2 t + \text{ctg}^2 t$, мы можем возвести обе части данного уравнения в квадрат.

Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a = \text{tg}\,t$ и $b = \text{ctg}\,t$.

$(\text{tg}\,t + \text{ctg}\,t)^2 = \text{tg}^2 t + 2 \cdot \text{tg}\,t \cdot \text{ctg}\,t + \text{ctg}^2 t$

По основному тригонометрическому тождеству произведение тангенса и котангенса одного и того же угла равно единице: $\text{tg}\,t \cdot \text{ctg}\,t = 1$.

Подставим это значение в наше уравнение:

$(\text{tg}\,t + \text{ctg}\,t)^2 = \text{tg}^2 t + 2 + \text{ctg}^2 t$

Теперь мы можем выразить искомую сумму квадратов:

$\text{tg}^2 t + \text{ctg}^2 t = (\text{tg}\,t + \text{ctg}\,t)^2 - 2$

Подставим известное значение $\text{tg}\,t + \text{ctg}\,t = 2,3$:

$\text{tg}^2 t + \text{ctg}^2 t = (2,3)^2 - 2 = 5,29 - 2 = 3,29$

Ответ: 3,29.

б) tg? t + ctg? t.

Для вычисления суммы кубов $\text{tg}^3 t + \text{ctg}^3 t$ воспользуемся формулой суммы кубов, выраженной через сумму оснований: $a^3+b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$.

Пусть $a = \text{tg}\,t$ и $b = \text{ctg}\,t$. Применяя формулу, получаем:

$\text{tg}^3 t + \text{ctg}^3 t = (\text{tg}\,t + \text{ctg}\,t)^3 - 3 \cdot \text{tg}\,t \cdot \text{ctg}\,t \cdot (\text{tg}\,t + \text{ctg}\,t)$

Как и в предыдущем пункте, используем то, что $\text{tg}\,t \cdot \text{ctg}\,t = 1$:

$\text{tg}^3 t + \text{ctg}^3 t = (\text{tg}\,t + \text{ctg}\,t)^3 - 3(\text{tg}\,t + \text{ctg}\,t)$

Теперь подставим известное из условия значение $\text{tg}\,t + \text{ctg}\,t = 2,3$:

$\text{tg}^3 t + \text{ctg}^3 t = (2,3)^3 - 3 \cdot (2,3)$

Проведем вычисления:

$(2,3)^3 = 2,3 \cdot 2,3 \cdot 2,3 = 5,29 \cdot 2,3 = 12,167$

$3 \cdot 2,3 = 6,9$

Найдем окончательный результат:

$\text{tg}^3 t + \text{ctg}^3 t = 12,167 - 6,9 = 5,267$

Ответ: 5,267.

14.23. Известно, $\sin t \cos t = -0,5$. Вычислите:

a) $\sin^2 t + \cos^2 t$;

б) $\sin^4 t + \cos^4 t$;

в) $\sin^6 t + \cos^6 t$;

г) $\sin^8 t + \cos^8 t$.

Для решения всех пунктов задачи будем использовать основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ и данное по условию значение $\sin t \cos t = -0.5$.

а) $\sin^2 t + \cos^2 t$

Согласно основному тригонометрическому тождеству, сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла всегда равна единице. Это равенство справедливо для любого значения $t$.

$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$

Ответ: 1

б) $\sin^4 t + \cos^4 t$

Чтобы найти сумму четвертых степеней, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, возведя его в квадрат:

$(\sin^2 t + \cos^2 t)^2 = 1^2$

Раскроем скобки в левой части по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(\sin^2 t)^2 + 2(\sin^2 t)(\cos^2 t) + (\cos^2 t)^2 = 1$

$\sin^4 t + 2\sin^2 t \cos^2 t + \cos^4 t = 1$

Сгруппируем искомое выражение и преобразуем второй член:

$(\sin^4 t + \cos^4 t) + 2(\sin t \cos t)^2 = 1$

Отсюда выразим $\sin^4 t + \cos^4 t$:

$\sin^4 t + \cos^4 t = 1 - 2(\sin t \cos t)^2$

Подставим в полученную формулу значение из условия $\sin t \cos t = -0.5$:

$\sin^4 t + \cos^4 t = 1 - 2(-0.5)^2 = 1 - 2(0.25) = 1 - 0.5 = 0.5$

Ответ: 0,5

в) $\sin^6 t + \cos^6 t$

Представим искомое выражение как сумму кубов: $\sin^6 t + \cos^6 t = (\sin^2 t)^3 + (\cos^2 t)^3$.

Воспользуемся формулой суммы кубов, выраженной через куб суммы: $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$.

Пусть $a = \sin^2 t$ и $b = \cos^2 t$. Тогда $a+b = \sin^2 t + \cos^2 t = 1$ и $ab = \sin^2 t \cos^2 t = (\sin t \cos t)^2$.

Подставим эти выражения в формулу:

$\sin^6 t + \cos^6 t = (\sin^2 t + \cos^2 t)^3 - 3(\sin^2 t \cos^2 t)(\sin^2 t + \cos^2 t)$

$\sin^6 t + \cos^6 t = (1)^3 - 3(\sin t \cos t)^2 (1)$

$\sin^6 t + \cos^6 t = 1 - 3(\sin t \cos t)^2$

Подставим значение $\sin t \cos t = -0.5$:

$\sin^6 t + \cos^6 t = 1 - 3(-0.5)^2 = 1 - 3(0.25) = 1 - 0.75 = 0.25$

Ответ: 0,25

г) $\sin^8 t + \cos^8 t$

Для вычисления этого выражения воспользуемся результатом, полученным в пункте б), а именно $\sin^4 t + \cos^4 t = 0.5$.

Возведем обе части этого равенства в квадрат:

$(\sin^4 t + \cos^4 t)^2 = (0.5)^2$

Раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата суммы:

$(\sin^4 t)^2 + 2(\sin^4 t)(\cos^4 t) + (\cos^4 t)^2 = 0.25$

$\sin^8 t + 2\sin^4 t \cos^4 t + \cos^8 t = 0.25$

Сгруппируем искомое выражение:

$(\sin^8 t + \cos^8 t) + 2(\sin t \cos t)^4 = 0.25$

Выразим сумму восьмых степеней:

$\sin^8 t + \cos^8 t = 0.25 - 2(\sin t \cos t)^4$

Подставим известное из условия значение $\sin t \cos t = -0.5$:

$\sin^8 t + \cos^8 t = 0.25 - 2(-0.5)^4 = 0.25 - 2(0.0625)$

Выполним окончательные вычисления:

$\sin^8 t + \cos^8 t = 0.25 - 0.125 = 0.125$

Ответ: 0,125

14.24. Известно, что $ \sin t \cos t = -\frac{12}{49} $. Вычислите:

a) $ \text{tg} t + \text{ctg} t $;

б) $ \text{tg}^2 t + \text{ctg}^2 t $.

а) tg t + ctg t;

Для вычисления значения выражения $\text{tg } t + \text{ctg } t$ воспользуемся определениями тангенса и котангенса через синус и косинус:

$\text{tg } t = \frac{\sin t}{\cos t}$

$\text{ctg } t = \frac{\cos t}{\sin t}$

Сложим эти два выражения и приведем их к общему знаменателю:

$\text{tg } t + \text{ctg } t = \frac{\sin t}{\cos t} + \frac{\cos t}{\sin t} = \frac{\sin^2 t + \cos^2 t}{\sin t \cos t}$

Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$:

$\text{tg } t + \text{ctg } t = \frac{1}{\sin t \cos t}$

Теперь подставим в полученное выражение заданное в условии значение $\sin t \cos t = -\frac{12}{49}$:

$\text{tg } t + \text{ctg } t = \frac{1}{-\frac{12}{49}} = -\frac{49}{12}$

Ответ: $-\frac{49}{12}$

б) tg? t + ctg? t.

Для нахождения суммы $\text{tg}^2 t + \text{ctg}^2 t$ воспользуемся результатом, полученным в пункте а).

Рассмотрим квадрат выражения $\text{tg } t + \text{ctg } t$:

$(\text{tg } t + \text{ctg } t)^2 = \text{tg}^2 t + 2 \cdot \text{tg } t \cdot \text{ctg } t + \text{ctg}^2 t$

Поскольку произведение тангенса на котангенс одного и того же угла равно единице ($\text{tg } t \cdot \text{ctg } t = 1$), формула упрощается:

$(\text{tg } t + \text{ctg } t)^2 = \text{tg}^2 t + 2 + \text{ctg}^2 t$

Отсюда можно выразить искомую сумму квадратов:

$\text{tg}^2 t + \text{ctg}^2 t = (\text{tg } t + \text{ctg } t)^2 - 2$

Из пункта а) мы знаем, что $\text{tg } t + \text{ctg } t = -\frac{49}{12}$. Подставим это значение:

$\text{tg}^2 t + \text{ctg}^2 t = \left(-\frac{49}{12}\right)^2 - 2 = \frac{49^2}{12^2} - 2 = \frac{2401}{144} - 2$

Приведем разность к общему знаменателю:

$\frac{2401}{144} - \frac{2 \cdot 144}{144} = \frac{2401 - 288}{144} = \frac{2113}{144}$

Ответ: $\frac{2113}{144}$

14.25. Вычислите:

a) $\sin t + \cos t$, если $\text{tg } t - \frac{1}{\text{tg } t} = -\frac{7}{12}$ и $0 < t < \frac{\pi}{2}$;

б) $2 \sin t + \cos t$, если $4 \text{ctg } t + 6 \text{tg } t + 11 = 0$ и $\frac{5\pi}{2} < t < \frac{11\pi}{4}$.

а) Вычислить $\sin t + \cos t$, если $\tg t - \frac{1}{\tg t} = -\frac{7}{12}$ и $0 < t < \frac{\pi}{2}$.

Для решения преобразуем данное уравнение. Сделаем замену $x = \tg t$. Уравнение примет вид:

$x - \frac{1}{x} = -\frac{7}{12}$

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части уравнения на $12x$. Учитываем, что $x \neq 0$, так как в исходном уравнении присутствует $\frac{1}{\tg t}$.

$12x^2 - 12 = -7x$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$12x^2 + 7x - 12 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 7^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-12) = 49 + 576 = 625 = 25^2$

Корни уравнения $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-7 + 25}{2 \cdot 12} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4}$

$x_2 = \frac{-7 - 25}{2 \cdot 12} = \frac{-32}{24} = -\frac{4}{3}$

Мы получили два возможных значения для $\tg t$: $\frac{3}{4}$ и $-\frac{4}{3}$.

По условию задачи, угол $t$ находится в интервале $0 < t < \frac{\pi}{2}$, что соответствует первой координатной четверти. В этой четверти все тригонометрические функции ($\sin t$, $\cos t$, $\tg t$) положительны. Следовательно, нам подходит только корень $\tg t = \frac{3}{4}$.

Теперь найдем значения $\sin t$ и $\cos t$. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $1 + \tg^2 t = \frac{1}{\cos^2 t}$:

$1 + \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{1}{\cos^2 t}$

$1 + \frac{9}{16} = \frac{1}{\cos^2 t}$

$\frac{16+9}{16} = \frac{25}{16} = \frac{1}{\cos^2 t}$

Отсюда $\cos^2 t = \frac{16}{25}$.

Так как $t$ находится в первой четверти, $\cos t$ положителен: $\cos t = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.

Теперь найдем $\sin t$, используя определение тангенса $\sin t = \tg t \cdot \cos t$:

$\sin t = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{3}{5}$.

Наконец, вычислим искомое выражение $\sin t + \cos t$:

$\sin t + \cos t = \frac{3}{5} + \frac{4}{5} = \frac{7}{5}$.

Ответ: $\frac{7}{5}$.

б) Вычислить $2\sin t + \cos t$, если $4\ctg t + 6\tg t + 11 = 0$ и $\frac{5\pi}{2} < t < \frac{11\pi}{4}$.

Преобразуем данное уравнение, используя тождество $\ctg t = \frac{1}{\tg t}$. Сделаем замену $x = \tg t$:

$4\left(\frac{1}{x}\right) + 6x + 11 = 0$

Умножим обе части уравнения на $x$ (где $x \neq 0$):

$4 + 6x^2 + 11x = 0$

Запишем в стандартном виде:

$6x^2 + 11x + 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 11^2 - 4 \cdot 6 \cdot 4 = 121 - 96 = 25 = 5^2$

Корни уравнения $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-11 + 5}{2 \cdot 6} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{-11 - 5}{2 \cdot 6} = \frac{-16}{12} = -\frac{4}{3}$

Получены два возможных значения для $\tg t$: $-\frac{1}{2}$ и $-\frac{4}{3}$.

Теперь проанализируем интервал $\frac{5\pi}{2} < t < \frac{11\pi}{4}$. Вычтем из границ интервала период $2\pi = \frac{8\pi}{4}$ для определения положения угла на единичной окружности:

$\frac{5\pi}{2} - \frac{8\pi}{4} = \frac{10\pi}{4} - \frac{8\pi}{4} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$

$\frac{11\pi}{4} - \frac{8\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$

Таким образом, угол $t$ находится в интервале, эквивалентном $\frac{\pi}{2} < t < \frac{3\pi}{4}$, что является второй координатной четвертью.

В этом интервале функция $\tg t$ возрастает от $-\infty$ до $\tg\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -1$. Это означает, что для любого угла $t$ из заданного интервала значение $\tg t$ должно быть меньше $-1$.

Сравним найденные корни с этим условием:

• $\tg t = -\frac{1}{2} = -0.5$. Это значение больше $-1$, поэтому оно не удовлетворяет условию.
• $\tg t = -\frac{4}{3} \approx -1.33$. Это значение меньше $-1$, значит, оно является верным.

Итак, $\tg t = -\frac{4}{3}$.

Теперь найдем $\sin t$ и $\cos t$. Из тождества $1 + \tg^2 t = \frac{1}{\cos^2 t}$:

$1 + \left(-\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{1}{\cos^2 t}$

$1 + \frac{16}{9} = \frac{1}{\cos^2 t}$

$\frac{25}{9} = \frac{1}{\cos^2 t} \implies \cos^2 t = \frac{9}{25}$

Во второй четверти косинус отрицателен, поэтому $\cos t = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5}$.

Найдем синус: $\sin t = \tg t \cdot \cos t = \left(-\frac{4}{3}\right) \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = \frac{4}{5}$. (Во второй четверти синус положителен, что соответствует результату).

Наконец, вычислим искомое выражение $2\sin t + \cos t$:

$2\sin t + \cos t = 2 \cdot \frac{4}{5} + \left(-\frac{3}{5}\right) = \frac{8}{5} - \frac{3}{5} = \frac{5}{5} = 1$.

Ответ: $1$.

14.26. a) Вычислите $ \operatorname{tg} t $, если известно, что $ \frac{\sin t + 3\cos t}{\sin t - 3\cos t} = 4 $.

б) Вычислите $ \operatorname{ctg} t $, если известно, что $ \frac{2\sin t - 3\cos t}{2\cos t - 3\sin t} = 3 $.

а) Для вычисления $ \tg t $ из заданного уравнения $ \frac{\sin t + 3\cos t}{\sin t - 3\cos t} = 4 $ разделим числитель и знаменатель дроби в левой части на $ \cos t $. Такое деление возможно, поскольку если предположить, что $ \cos t = 0 $, то исходное уравнение примет вид $ \frac{\sin t}{\sin t} = 1 $, что противоречит условию $ 1 = 4 $. Следовательно, $ \cos t \neq 0 $.
Выполнив деление, получаем:
$ \frac{\frac{\sin t}{\cos t} + \frac{3\cos t}{\cos t}}{\frac{\sin t}{\cos t} - \frac{3\cos t}{\cos t}} = 4 $
Поскольку $ \tg t = \frac{\sin t}{\cos t} $, уравнение преобразуется к виду:
$ \frac{\tg t + 3}{\tg t - 3} = 4 $
Теперь решим это уравнение относительно $ \tg t $:
$ \tg t + 3 = 4(\tg t - 3) $
$ \tg t + 3 = 4\tg t - 12 $
$ 3 + 12 = 4\tg t - \tg t $
$ 15 = 3\tg t $
$ \tg t = \frac{15}{3} = 5 $
Ответ: 5

б) Для вычисления $ \ctg t $ из заданного уравнения $ \frac{2\sin t - 3\cos t}{2\cos t - 3\sin t} = 3 $ разделим числитель и знаменатель дроби в левой части на $ \sin t $. Такое деление возможно, поскольку если предположить, что $ \sin t = 0 $, то исходное уравнение примет вид $ \frac{-3\cos t}{2\cos t} = -\frac{3}{2} $, что противоречит условию $ -\frac{3}{2} = 3 $. Следовательно, $ \sin t \neq 0 $.
Выполнив деление, получаем:
$ \frac{\frac{2\sin t}{\sin t} - \frac{3\cos t}{\sin t}}{\frac{2\cos t}{\sin t} - \frac{3\sin t}{\sin t}} = 3 $
Поскольку $ \ctg t = \frac{\cos t}{\sin t} $, уравнение преобразуется к виду:
$ \frac{2 - 3\ctg t}{2\ctg t - 3} = 3 $
Теперь решим это уравнение относительно $ \ctg t $:
$ 2 - 3\ctg t = 3(2\ctg t - 3) $
$ 2 - 3\ctg t = 6\ctg t - 9 $
$ 2 + 9 = 6\ctg t + 3\ctg t $
$ 11 = 9\ctg t $
$ \ctg t = \frac{11}{9} $
Ответ: $ \frac{11}{9} $

14.27. a) Вычислите $ \operatorname{tg} t $, если известно, что $ 5 \sin t - \cos^2 t = 2,36 $ и $ \frac{5\pi}{2} < t < 3\pi $.

б) Вычислите $ \operatorname{ctg} t $, если известно, что $ \sin^2 t + 2 \cos t + 0,56 = 0 $ и $ -\frac{7\pi}{2} < t < -3\pi $.

а)

Дано уравнение $5 \sin t - \cos^2 t = 2,36$. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$, из которого выразим $\cos^2 t = 1 - \sin^2 t$. Подставим это выражение в исходное уравнение: $5 \sin t - (1 - \sin^2 t) = 2,36$ $5 \sin t - 1 + \sin^2 t = 2,36$ $\sin^2 t + 5 \sin t - 3,36 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $x = \sin t$. Так как область значений синуса $[-1; 1]$, то $|x| \le 1$. Получаем квадратное уравнение: $x^2 + 5x - 3,36 = 0$ Решим его через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3,36) = 25 + 13,44 = 38,44$ $\sqrt{D} = \sqrt{38,44} = 6,2$ $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 6,2}{2} = \frac{1,2}{2} = 0,6$ $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 6,2}{2} = \frac{-11,2}{2} = -5,6$

Корень $x_2 = -5,6$ не удовлетворяет условию $|x| \le 1$, поэтому он является посторонним. Следовательно, $\sin t = 0,6$.

По условию, угол $t$ принадлежит интервалу $\frac{5\pi}{2} < t < 3\pi$. Этот интервал соответствует второй координатной четверти, где синус положителен, а косинус отрицателен. Найденное значение $\sin t = 0,6$ положительно, что соответствует условию. Теперь найдем $\cos t$: $\cos^2 t = 1 - \sin^2 t = 1 - (0,6)^2 = 1 - 0,36 = 0,64$ $\cos t = \pm \sqrt{0,64} = \pm 0,8$. Так как $t$ находится во второй четверти, $\cos t < 0$, поэтому $\cos t = -0,8$.

Вычислим тангенс: $\text{tg } t = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{0,6}{-0,8} = -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4} = -0,75$.

Ответ: -0,75.

б)

Дано уравнение $\sin^2 t + 2 \cos t + 0,56 = 0$. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$, из которого выразим $\sin^2 t = 1 - \cos^2 t$. Подставим это выражение в исходное уравнение: $(1 - \cos^2 t) + 2 \cos t + 0,56 = 0$ $-\cos^2 t + 2 \cos t + 1,56 = 0$ Умножим обе части уравнения на -1: $\cos^2 t - 2 \cos t - 1,56 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = \cos t$. Так как область значений косинуса $[-1; 1]$, то $|y| \le 1$. Получаем квадратное уравнение: $y^2 - 2y - 1,56 = 0$ Решим его через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1,56) = 4 + 6,24 = 10,24$ $\sqrt{D} = \sqrt{10,24} = 3,2$ $y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 3,2}{2} = \frac{5,2}{2} = 2,6$ $y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 3,2}{2} = \frac{-1,2}{2} = -0,6$

Корень $y_1 = 2,6$ не удовлетворяет условию $|y| \le 1$, поэтому он является посторонним. Следовательно, $\cos t = -0,6$.

По условию, угол $t$ принадлежит интервалу $-\frac{7\pi}{2} < t < -3\pi$. Чтобы определить четверть, прибавим к границам интервала $4\pi$ (два полных оборота, $2 \cdot 2\pi$): $-\frac{7\pi}{2} + 4\pi < t' < -3\pi + 4\pi$ $\frac{-7\pi + 8\pi}{2} < t' < \pi$ $\frac{\pi}{2} < t' < \pi$ Этот интервал соответствует второй координатной четверти, где косинус отрицателен, а синус положителен. Найденное значение $\cos t = -0,6$ отрицательно, что соответствует условию. Теперь найдем $\sin t$: $\sin^2 t = 1 - \cos^2 t = 1 - (-0,6)^2 = 1 - 0,36 = 0,64$ $\sin t = \pm \sqrt{0,64} = \pm 0,8$. Так как $t$ находится во второй четверти, $\sin t > 0$, поэтому $\sin t = 0,8$.

Вычислим котангенс: $\text{ctg } t = \frac{\cos t}{\sin t} = \frac{-0,6}{0,8} = -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4} = -0,75$.

Ответ: -0,75.

14.28. a) Вычислите ctg t, если известно, что $ \frac{2\sin t \cos t}{\cos^2 t - \sin^2 t} = \frac{3}{4} $ и $ \frac{\pi}{4} < t < \pi. $

б) Вычислите tg t, если известно, что $ \frac{2\sin^2 t + 3\sin t \cos t - \cos^2 t}{2\cos^2 t - \sin^2 t} = -\frac{1}{2} $ и $ -\frac{\pi}{4} < t < \frac{\pi}{2}. $

а) Дано равенство $\frac{2\sin t \cos t}{\cos^2 t - \sin^2 t} = \frac{3}{4}$ и условие $\frac{\pi}{4} < t < \pi$.
Преобразуем левую часть равенства, используя формулы двойного угла: $\sin(2t) = 2\sin t \cos t$ и $\cos(2t) = \cos^2 t - \sin^2 t$.
В результате получаем:
$\frac{\sin(2t)}{\cos(2t)} = \tan(2t)$
Таким образом, $\tan(2t) = \frac{3}{4}$.
Теперь воспользуемся формулой тангенса двойного угла, выраженной через котангенс искомой величины: $\tan(2t) = \frac{2\cot t}{\cot^2 t - 1}$.
Пусть $y = \cot t$. Уравнение примет вид:
$\frac{2y}{y^2 - 1} = \frac{3}{4}$
Применяя свойство пропорции (крест-накрест), получаем:
$4 \cdot (2y) = 3 \cdot (y^2 - 1)$
$8y = 3y^2 - 3$
$3y^2 - 8y - 3 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$ с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100$
$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{8 \pm 10}{6}$
Получаем два возможных значения для $\cot t$:
$y_1 = \frac{8 + 10}{6} = \frac{18}{6} = 3$
$y_2 = \frac{8 - 10}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$
Для выбора правильного корня воспользуемся условием $\frac{\pi}{4} < t < \pi$. Этот интервал можно разбить на две части:
1. Если $\frac{\pi}{4} < t < \frac{\pi}{2}$ (I четверть), то $\cot t$ положителен, и так как котангенс убывает, $\cot t < \cot(\frac{\pi}{4}) = 1$. Таким образом, $0 < \cot t < 1$.
2. Если $\frac{\pi}{2} \le t < \pi$ (II четверть), то $\cot t$ не положителен ($\cot t \le 0$).
Сравним полученные корни с этими условиями:
- $\cot t = 3$. Это значение не попадает ни в один из диапазонов, так как $3 > 1$.
- $\cot t = -\frac{1}{3}$. Это значение удовлетворяет второму условию, так как $-\frac{1}{3} \le 0$.
Следовательно, единственное возможное значение — это $-\frac{1}{3}$.
Ответ: $-\frac{1}{3}$.

б) Дано равенство $\frac{2\sin^2 t + 3\sin t \cos t - \cos^2 t}{2\cos^2 t - \sin^2 t} = -\frac{1}{2}$ и условие $-\frac{\pi}{4} < t < \frac{\pi}{2}$.
Числитель и знаменатель дроби являются однородными выражениями второй степени относительно $\sin t$ и $\cos t$. В заданном интервале $\cos t \neq 0$ (равенство нулю достигается при $t=\frac{\pi}{2}$, но эта точка не входит в интервал), поэтому мы можем разделить числитель и знаменатель дроби на $\cos^2 t$:
$\frac{\frac{2\sin^2 t}{\cos^2 t} + \frac{3\sin t \cos t}{\cos^2 t} - \frac{\cos^2 t}{\cos^2 t}}{\frac{2\cos^2 t}{\cos^2 t} - \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}} = \frac{2\tan^2 t + 3\tan t - 1}{2 - \tan^2 t}$
Таким образом, мы получили уравнение относительно $\tan t$:
$\frac{2\tan^2 t + 3\tan t - 1}{2 - \tan^2 t} = -\frac{1}{2}$
Пусть $x = \tan t$. Уравнение примет вид:
$\frac{2x^2 + 3x - 1}{2 - x^2} = -\frac{1}{2}$
Умножим обе части на $2(2 - x^2)$, учитывая, что $2 - x^2 \neq 0$ (иначе знаменатель был бы равен 0):
$2(2x^2 + 3x - 1) = -1(2 - x^2)$
$4x^2 + 6x - 2 = -2 + x^2$
$3x^2 + 6x = 0$
$3x(x + 2) = 0$
Отсюда получаем два возможных значения для $x = \tan t$:
$x_1 = 0$ или $x_2 = -2$.
Теперь используем заданный интервал $-\frac{\pi}{4} < t < \frac{\pi}{2}$ для выбора правильного решения.
Функция $\tan t$ на этом интервале строго возрастает. Найдем значения тангенса на границах интервала (в левой точке):
$\tan(-\frac{\pi}{4}) = -1$
Поскольку функция возрастает, для любого $t$ из интервала $(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$ должно выполняться неравенство $\tan t > -1$.
Рассмотрим наши решения:
1. $\tan t = 0$. Так как $0 > -1$, это решение подходит. Оно соответствует значению $t=0$, которое лежит в заданном интервале.
2. $\tan t = -2$. Так как $-2 < -1$, это решение не подходит, поскольку оно лежит вне диапазона возможных значений $\tan t$ на данном интервале.
Следовательно, единственно верным решением является $\tan t = 0$.
Ответ: $0$.