Страница 100, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

15.10. В прямоугольном треугольнике известны длина гипотенузы $c$ и острый угол $\alpha$. Найдите длину катетов, площадь и радиус описанной окружности, если:

а) $c = 12, \alpha = 60^{\circ}$;

б) $c = 6, \alpha = 45^{\circ}$;

в) $c = 4, \alpha = 30^{\circ}$;

г) $c = 60, \alpha = 60^{\circ}$.

Для решения задачи воспользуемся основными тригонометрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике, а также формулами для площади и радиуса описанной окружности. Пусть $c$ — гипотенуза, $a$ и $b$ — катеты, $\alpha$ — один из острых углов. Катет, противолежащий углу $\alpha$, равен $a = c \cdot \sin(\alpha)$. Катет, прилежащий к углу $\alpha$, равен $b = c \cdot \cos(\alpha)$. Площадь прямоугольного треугольника: $S = \frac{1}{2}ab$. Радиус описанной окружности для прямоугольного треугольника: $R = \frac{c}{2}$.

а) Дано: $c = 12$, $\alpha = 60^\circ$.
Находим длины катетов:
$a = 12 \cdot \sin(60^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$.
$b = 12 \cdot \cos(60^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$.
Находим площадь:
$S = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{3} \cdot 6 = 18\sqrt{3}$.
Находим радиус описанной окружности:
$R = \frac{12}{2} = 6$.
Ответ: длины катетов равны $6$ и $6\sqrt{3}$, площадь равна $18\sqrt{3}$, радиус описанной окружности равен $6$.

б) Дано: $c = 6$, $\alpha = 45^\circ$.
Находим длины катетов:
$a = 6 \cdot \sin(45^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$.
$b = 6 \cdot \cos(45^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$.
Находим площадь:
$S = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 2 = 9$.
Находим радиус описанной окружности:
$R = \frac{6}{2} = 3$.
Ответ: длины катетов равны $3\sqrt{2}$ и $3\sqrt{2}$, площадь равна $9$, радиус описанной окружности равен $3$.

в) Дано: $c = 4$, $\alpha = 30^\circ$.
Находим длины катетов:
$a = 4 \cdot \sin(30^\circ) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$.
$b = 4 \cdot \cos(30^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$.
Находим площадь:
$S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.
Находим радиус описанной окружности:
$R = \frac{4}{2} = 2$.
Ответ: длины катетов равны $2$ и $2\sqrt{3}$, площадь равна $2\sqrt{3}$, радиус описанной окружности равен $2$.

г) Дано: $c = 60$, $\alpha = 60^\circ$.
Находим длины катетов:
$a = 60 \cdot \sin(60^\circ) = 60 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 30\sqrt{3}$.
$b = 60 \cdot \cos(60^\circ) = 60 \cdot \frac{1}{2} = 30$.
Находим площадь:
$S = \frac{1}{2} \cdot 30\sqrt{3} \cdot 30 = 450\sqrt{3}$.
Находим радиус описанной окружности:
$R = \frac{60}{2} = 30$.
Ответ: длины катетов равны $30$ и $30\sqrt{3}$, площадь равна $450\sqrt{3}$, радиус описанной окружности равен $30$.

15.11. Хорда $AB$ образует с диаметром $AC$ окружности угол $\alpha^\circ$.

Найдите длину хорды $AB$, если радиус окружности равен $R$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Точки $A$, $B$ и $C$ лежат на окружности. Так как отрезок $AC$ является её диаметром, то вписанный угол $\angle ABC$, опирающийся на диаметр, является прямым. Следовательно, $\angle ABC = 90^\circ$, и треугольник $ABC$ — прямоугольный.

В этом прямоугольном треугольнике гипотенузой является диаметр $AC$, длина которого равна двум радиусам, то есть $AC = 2R$. Катет $AB$ — это искомая хорда. По условию, угол между хордой $AB$ и диаметром $AC$ равен $\alpha$, значит, $\angle BAC = \alpha$.

Для нахождения длины катета $AB$, прилежащего к углу $\alpha$, воспользуемся определением косинуса в прямоугольном треугольнике: косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.
$\cos(\angle BAC) = \frac{AB}{AC}$

Подставим известные значения в это соотношение:
$\cos(\alpha) = \frac{AB}{2R}$

Выразим из полученного равенства длину хорды $AB$:
$AB = 2R \cos(\alpha)$

Ответ: $2R \cos(\alpha)$.

15.12. Докажите, что площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения длин его диагоналей на синус угла между ними.

15.12.

Пусть дан выпуклый четырехугольник $ABCD$. Его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Обозначим длины диагоналей как $d_1 = AC$ и $d_2 = BD$. Пусть угол между диагоналями, например $\angle AOB$, равен $\alpha$.

Диагонали разбивают четырехугольник на четыре треугольника: $\triangle AOB$, $\triangle BOC$, $\triangle COD$ и $\triangle DOA$. Площадь всего четырехугольника $S_{ABCD}$ равна сумме площадей этих четырех треугольников:

$S_{ABCD} = S_{\triangle AOB} + S_{\triangle BOC} + S_{\triangle COD} + S_{\triangle DOA}$

Как известно, площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$, где $a$ и $b$ – длины двух сторон треугольника, а $\gamma$ – угол между ними.

Рассмотрим углы, образованные при пересечении диагоналей в точке $O$:
$\angle AOB = \alpha$
$\angle BOC = 180^\circ - \alpha$ (как смежный с $\angle AOB$)
$\angle COD = \alpha$ (как вертикальный к $\angle AOB$)
$\angle DOA = 180^\circ - \alpha$ (как смежный с $\angle COD$ или вертикальный к $\angle BOC$)

Используя тригонометрическое тождество $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$, найдем площади каждого из четырех треугольников, на которые диагонали делят четырехугольник:

$S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} AO \cdot BO \cdot \sin(\angle AOB) = \frac{1}{2} AO \cdot BO \cdot \sin\alpha$

$S_{\triangle BOC} = \frac{1}{2} BO \cdot OC \cdot \sin(\angle BOC) = \frac{1}{2} BO \cdot OC \cdot \sin(180^\circ - \alpha) = \frac{1}{2} BO \cdot OC \cdot \sin\alpha$

$S_{\triangle COD} = \frac{1}{2} OC \cdot OD \cdot \sin(\angle COD) = \frac{1}{2} OC \cdot OD \cdot \sin\alpha$

$S_{\triangle DOA} = \frac{1}{2} OD \cdot AO \cdot \sin(\angle DOA) = \frac{1}{2} OD \cdot AO \cdot \sin(180^\circ - \alpha) = \frac{1}{2} OD \cdot AO \cdot \sin\alpha$

Теперь сложим площади этих треугольников:

$S_{ABCD} = \frac{1}{2} AO \cdot BO \sin\alpha + \frac{1}{2} BO \cdot OC \sin\alpha + \frac{1}{2} OC \cdot OD \sin\alpha + \frac{1}{2} OD \cdot AO \sin\alpha$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}\sin\alpha$ за скобки:

$S_{ABCD} = \frac{1}{2}\sin\alpha (AO \cdot BO + BO \cdot OC + OC \cdot OD + OD \cdot AO)$

Сгруппируем слагаемые в скобках и вынесем общие множители для каждой группы:

$S_{ABCD} = \frac{1}{2}\sin\alpha \left( (AO \cdot BO + BO \cdot OC) + (OC \cdot OD + OD \cdot AO) \right) = \frac{1}{2}\sin\alpha \left( BO(AO + OC) + OD(AO + OC) \right)$

Теперь вынесем общий множитель $(AO + OC)$:

$S_{ABCD} = \frac{1}{2}\sin\alpha \left( (AO + OC)(BO + OD) \right)$

Поскольку отрезки, на которые точка $O$ делит диагонали, в сумме дают длины самих диагоналей ($AO + OC = AC = d_1$ и $BO + OD = BD = d_2$), мы можем подставить эти значения в формулу:

$S_{ABCD} = \frac{1}{2} (AC \cdot BD) \sin\alpha = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\alpha$

Таким образом, мы доказали, что площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения длин его диагоналей на синус угла между ними. Что и требовалось доказать.

Ответ: Формула площади выпуклого четырехугольника: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\alpha$, где $S$ – площадь четырехугольника, $d_1$ и $d_2$ – длины его диагоналей, а $\alpha$ – угол между ними.

15.13. В $\triangle ABC$ известно, что $AB = 4\sqrt{2}$ см, $\angle A = 45^{\circ}$, $\angle C = 30^{\circ}$. Найдите $BC$, $AC$ и площадь $\triangle ABC$.

Дано: $\triangle ABC$, $AB = 4\sqrt{2}$ см, $\angle A = 45^\circ$, $\angle C = 30^\circ$.

Сначала найдем третий угол треугольника, $\angle B$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:

$\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 45^\circ - 30^\circ = 105^\circ$.

BC

Для нахождения сторон треугольника воспользуемся теоремой синусов, которая гласит, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:

$\frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}$

Из этой пропорции найдем сторону BC. Сторона BC лежит напротив угла A, а сторона AB лежит напротив угла C.

$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C}$

Выразим BC:

$BC = \frac{AB \cdot \sin A}{\sin C}$

Подставим известные значения:

$BC = \frac{4\sqrt{2} \cdot \sin 45^\circ}{\sin 30^\circ}$

Зная, что $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, получаем:

$BC = \frac{4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{4 \cdot (\sqrt{2})^2 / 2}{1/2} = \frac{4 \cdot 2 / 2}{1/2} = \frac{4}{1/2} = 8$ см.

Ответ: $BC = 8$ см.

AC

Теперь найдем сторону AC, используя ту же теорему синусов. Сторона AC лежит напротив угла B.

$\frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C}$

Выразим AC:

$AC = \frac{AB \cdot \sin B}{\sin C}$

Подставим известные значения, включая найденный нами $\angle B = 105^\circ$:

$AC = \frac{4\sqrt{2} \cdot \sin 105^\circ}{\sin 30^\circ}$

Для вычисления $\sin 105^\circ$ используем формулу синуса суммы углов: $\sin(60^\circ + 45^\circ) = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ$.

$\sin 105^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.

Теперь подставим это значение в формулу для AC:

$AC = \frac{4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{1/2} = 2\sqrt{2}(\sqrt{6} + \sqrt{2}) = 2(\sqrt{12} + \sqrt{4}) = 2(2\sqrt{3} + 2) = 4(\sqrt{3} + 1)$ см.

Ответ: $AC = 4(\sqrt{3} + 1)$ см.

площадь $\triangle ABC$

Площадь треугольника можно найти по формуле, использующей две стороны и синус угла между ними: $S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$.

Воспользуемся сторонами AB и AC и углом A между ними:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A$

Подставим значения:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot 4(\sqrt{3} + 1) \cdot \sin 45^\circ = 2\sqrt{2} \cdot 4(\sqrt{3} + 1) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$S_{ABC} = 8(\sqrt{3} + 1) \cdot \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2} = 8(\sqrt{3} + 1) \cdot \frac{2}{2} = 8(\sqrt{3} + 1)$ см$^2$.

Для проверки можно использовать другую пару сторон, например, AB и BC и угол B между ними:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin B = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot 8 \cdot \sin 105^\circ = 16\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = 4\sqrt{2}(\sqrt{6} + \sqrt{2}) = 4(\sqrt{12} + 2) = 4(2\sqrt{3} + 2) = 8(\sqrt{3} + 1)$ см$^2$.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: площадь $\triangle ABC = 8(\sqrt{3} + 1)$ см$^2$.

15.14. Высота треугольника равна 5 см, а углы, прилегающие к основанию, равны 60° и 45°. Найдите площадь треугольника.

Пусть дан треугольник, в котором высота, проведенная к основанию, равна $h = 5$ см. Обозначим эту высоту как $BH$, а основание как $AC$. По условию, углы, прилежащие к основанию, равны $\angle BAC = 60^\circ$ и $\angle BCA = 45^\circ$.

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ – это длина основания, а $h$ – длина высоты, проведенной к этому основанию. Для нашего треугольника формула будет выглядеть так: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH$.

Высота $BH$ делит треугольник $ABC$ на два прямоугольных треугольника: $\triangle ABH$ и $\triangle CBH$. Основание $AC$ является суммой длин отрезков $AH$ и $HC$, то есть $AC = AH + HC$. Чтобы найти площадь, нам необходимо сначала вычислить длины этих отрезков.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ (где $\angle BHA = 90^\circ$). Нам известен катет $BH = 5$ см и угол $\angle BAH = 60^\circ$. Длину катета $AH$ можно найти, используя тангенс угла:
$\tan(\angle BAH) = \frac{BH}{AH}$
$\tan(60^\circ) = \frac{5}{AH}$
Так как $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$, получаем:
$AH = \frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $CBH$ (где $\angle BHC = 90^\circ$). Нам известен катет $BH = 5$ см и угол $\angle BCH = 45^\circ$. Найдем длину катета $HC$:
$\tan(\angle BCH) = \frac{BH}{HC}$
$\tan(45^\circ) = \frac{5}{HC}$
Так как $\tan(45^\circ) = 1$, получаем:
$HC = \frac{5}{1} = 5$ см.

Теперь мы можем найти длину всего основания $AC$:
$AC = AH + HC = \frac{5\sqrt{3}}{3} + 5$ см.

Наконец, вычислим площадь треугольника $ABC$:
$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{5\sqrt{3}}{3} + 5\right) \cdot 5$
$S = \frac{5}{2} \left(\frac{5\sqrt{3}}{3} + 5\right) = \frac{25\sqrt{3}}{6} + \frac{25}{2}$
Приводя к общему знаменателю, получаем:
$S = \frac{25\sqrt{3}}{6} + \frac{75}{6} = \frac{75 + 25\sqrt{3}}{6}$
Вынесем общий множитель $25$ за скобки:
$S = \frac{25(3 + \sqrt{3})}{6}$ см?.

Ответ: $\frac{25(3 + \sqrt{3})}{6}$ см?.

15.15. Использовав геометрические соображения, вычислите:

а) $\sin 15^\circ$ и $\cos 15^\circ$;

б) $\sin 22.5^\circ$ и $\cos 22.5^\circ$.

а) sin 15° и cos 15°

Для вычисления значений $\sin 15^\circ$ и $\cos 15^\circ$ используем геометрический метод.

1. Построим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$, $\angle CAB = 30^\circ$ и $\angle CBA = 60^\circ$. Для удобства вычислений примем длину катета $BC$, противолежащего углу $30^\circ$, равной 1. Тогда гипотенуза $AB=2$, а катет $AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$.

2. Продлим сторону $AC$ за точку $A$ и отложим на продолжении отрезок $AD$, равный гипотенузе $AB$. Таким образом, $AD = 2$.

3. Соединим точки $D$ и $B$. Рассмотрим треугольник $ADB$. Он является равнобедренным, так как $AD=AB=2$. Угол $\angle DAB$ является внешним углом для угла $\angle CAB$, поэтому $\angle DAB = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$. Углы при основании $DB$ треугольника $ADB$ равны: $\angle ADB = \angle ABD = (180^\circ - 150^\circ) / 2 = 15^\circ$.

4. Теперь рассмотрим большой прямоугольный треугольник $DCB$. Угол $\angle C$ в нем прямой, а угол $\angle CDB = 15^\circ$. Найдем длины его сторон. Катет $BC = 1$. Катет $DC = DA + AC = 2 + \sqrt{3}$.

5. По теореме Пифагора найдем гипотенузу $DB$: $DB^2 = DC^2 + BC^2 = (2 + \sqrt{3})^2 + 1^2 = (4 + 4\sqrt{3} + 3) + 1 = 8 + 4\sqrt{3}$. $DB = \sqrt{8 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{8 + 2\sqrt{12}}$. Для упрощения корня воспользуемся тем, что $8 = 6+2$ и $12=6 \cdot 2$. Следовательно, $DB = \sqrt{6} + \sqrt{2}$.

6. Теперь, зная все стороны прямоугольного треугольника $DCB$, можем найти синус и косинус угла $15^\circ$: $\sin 15^\circ = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC}{DB} = \frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$. Избавимся от иррациональности в знаменателе: $\sin 15^\circ = \frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{6 - 2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.

$\cos 15^\circ = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{DC}{DB} = \frac{2 + \sqrt{3}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$. Упростим выражение: $\cos 15^\circ = \frac{2 + \sqrt{3}}{\sqrt{2}(\sqrt{3} + 1)} = \frac{(2 + \sqrt{3})(\sqrt{3} - 1)}{\sqrt{2}(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{2\sqrt{3} - 2 + 3 - \sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3} + 1)\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.

Ответ: $\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$, $\cos 15^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.

б) sin 22,5° и cos 22,5°

Для вычисления значений $\sin 22,5^\circ$ и $\cos 22,5^\circ$ используем тот факт, что $22,5^\circ$ — это половина от $45^\circ$.

1. Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$ и углами при гипотенузе $\angle A = \angle B = 45^\circ$. Пусть длина катетов $AC = BC = 1$. Тогда по теореме Пифагора гипотенуза $AB = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

2. Проведем биссектрису $BD$ угла $B$. Она делит угол $B$ на два равных угла, так что $\angle CBD = 45^\circ / 2 = 22,5^\circ$. Точка $D$ лежит на катете $AC$.

3. По свойству биссектрисы угла в треугольнике, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: $\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC}$. Подставим известные длины: $\frac{AD}{DC} = \frac{\sqrt{2}}{1}$, откуда $AD = DC \cdot \sqrt{2}$.

4. Так как $AD + DC = AC = 1$, мы можем найти $DC$: $DC \cdot \sqrt{2} + DC = 1 \implies DC(\sqrt{2} + 1) = 1 \implies DC = \frac{1}{\sqrt{2} + 1}$. Умножив числитель и знаменатель на $(\sqrt{2} - 1)$, получим: $DC = \sqrt{2} - 1$.

5. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $DBC$. Мы знаем длины его катетов: $BC=1$ и $DC = \sqrt{2}-1$. Найдем гипотенузу $BD$ по теореме Пифагора: $BD^2 = BC^2 + DC^2 = 1^2 + (\sqrt{2} - 1)^2 = 1 + (2 - 2\sqrt{2} + 1) = 4 - 2\sqrt{2}$. $BD = \sqrt{4 - 2\sqrt{2}}$.

6. В прямоугольном треугольнике $DBC$ угол $\angle CBD = 22,5^\circ$. Вычислим его синус и косинус: $\sin 22,5^\circ = \frac{DC}{BD} = \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{4 - 2\sqrt{2}}}$. Чтобы упростить, возведем в квадрат: $(\sin 22,5^\circ)^2 = \frac{(\sqrt{2}-1)^2}{4-2\sqrt{2}} = \frac{3-2\sqrt{2}}{2(2-\sqrt{2})}$. Так как $3-2\sqrt{2} = (\sqrt{2}-1)^2$ и $2-\sqrt{2} = \sqrt{2}(\sqrt{2}-1)$, то: $(\sin 22,5^\circ)^2 = \frac{(\sqrt{2}-1)^2}{2\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)} = \frac{\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{2}-1)\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \frac{2-\sqrt{2}}{4}$. Извлекая корень, получаем: $\sin 22,5^\circ = \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$.

$\cos 22,5^\circ = \frac{BC}{BD} = \frac{1}{\sqrt{4 - 2\sqrt{2}}}$. Возведем в квадрат: $(\cos 22,5^\circ)^2 = \frac{1}{4 - 2\sqrt{2}} = \frac{1}{2(2-\sqrt{2})}$. Умножим числитель и знаменатель на $(2+\sqrt{2})$: $(\cos 22,5^\circ)^2 = \frac{2+\sqrt{2}}{2(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})} = \frac{2+\sqrt{2}}{2(4-2)} = \frac{2+\sqrt{2}}{4}$. Извлекая корень, получаем: $\cos 22,5^\circ = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$.

Ответ: $\sin 22,5^\circ = \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$, $\cos 22,5^\circ = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$.

Вычислите:

15.16. a) $\sin^2 733^\circ + \cos^2 347^\circ$;

б) $2 \cos^2 395^\circ + \sin^2 1000^\circ + 2 \sin^2 755^\circ + \cos^2 800^\circ$.

a) Вычислим значение выражения $\sin^2 733^\circ + \cos^2 347^\circ$.
Для этого воспользуемся свойством периодичности тригонометрических функций ($T=360^\circ$), свойством четности косинуса и основным тригонометрическим тождеством.
1. Упростим аргументы функций, отбрасывая полные обороты в $360^\circ$:
$\sin(733^\circ) = \sin(2 \cdot 360^\circ + 13^\circ) = \sin(13^\circ)$.
$\cos(347^\circ) = \cos(360^\circ - 13^\circ) = \cos(-13^\circ)$.
2. Так как функция косинус является четной, то есть $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$, имеем:
$\cos(-13^\circ) = \cos(13^\circ)$.
3. Подставим упрощенные значения в исходное выражение:
$\sin^2 733^\circ + \cos^2 347^\circ = \sin^2 13^\circ + \cos^2 13^\circ$.
4. Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$:
$\sin^2 13^\circ + \cos^2 13^\circ = 1$.
Ответ: 1

б) Вычислим значение выражения $2\cos^2 395^\circ + \sin^2 1000^\circ + 2\sin^2 755^\circ + \cos^2 800^\circ$.
1. Сгруппируем слагаемые для удобства вычислений:
$(2\cos^2 395^\circ + 2\sin^2 755^\circ) + (\sin^2 1000^\circ + \cos^2 800^\circ) = 2(\cos^2 395^\circ + \sin^2 755^\circ) + (\sin^2 1000^\circ + \cos^2 800^\circ)$.
2. Упростим аргументы каждой функции, используя их периодичность ($T=360^\circ$):
$\cos 395^\circ = \cos(360^\circ + 35^\circ) = \cos 35^\circ$
$\sin 755^\circ = \sin(2 \cdot 360^\circ + 35^\circ) = \sin(720^\circ+35^\circ) = \sin 35^\circ$
$\sin 1000^\circ = \sin(2 \cdot 360^\circ + 280^\circ) = \sin(720^\circ+280^\circ) = \sin 280^\circ$
$\cos 800^\circ = \cos(2 \cdot 360^\circ + 80^\circ) = \cos(720^\circ+80^\circ) = \cos 80^\circ$
3. Подставим упрощенные значения в сгруппированное выражение:
$2(\cos^2 35^\circ + \sin^2 35^\circ) + (\sin^2 280^\circ + \cos^2 80^\circ)$.
4. Вычислим значение каждой из двух частей.
Первая часть: $2(\cos^2 35^\circ + \sin^2 35^\circ)$. Согласно основному тригонометрическому тождеству, $\cos^2 35^\circ + \sin^2 35^\circ = 1$. Таким образом, первая часть равна $2 \cdot 1 = 2$.
Вторая часть: $\sin^2 280^\circ + \cos^2 80^\circ$. Применим формулу приведения для $\sin 280^\circ$:
$\sin 280^\circ = \sin(360^\circ - 80^\circ) = -\sin 80^\circ$.
Тогда $\sin^2 280^\circ = (-\sin 80^\circ)^2 = \sin^2 80^\circ$.
Выражение для второй части принимает вид: $\sin^2 80^\circ + \cos^2 80^\circ$, что по основному тождеству равно 1.
5. Сложим результаты, полученные для обеих частей:
$2 + 1 = 3$.
Ответ: 3

15.17. a) $\text{tg } 1^\circ \text{tg } 2^\circ \text{tg } 3^\circ \dots \text{tg } 89^\circ;$

б) $\text{ctg } 2^\circ \text{ctg } 4^\circ \text{ctg } 6^\circ \dots \text{ctg } 178^\circ.$

а) Рассмотрим данное произведение: $\text{tg } 1^\circ \cdot \text{tg } 2^\circ \cdot \text{tg } 3^\circ \cdot \ldots \cdot \text{tg } 89^\circ$.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой приведения $\text{tg}(90^\circ - \alpha) = \text{ctg } \alpha$ и основным тригонометрическим соотношением $\text{tg } \alpha \cdot \text{ctg } \alpha = 1$.

Сгруппируем множители в произведении, соединяя первый с последним, второй с предпоследним и так далее:

$(\text{tg } 1^\circ \cdot \text{tg } 89^\circ) \cdot (\text{tg } 2^\circ \cdot \text{tg } 88^\circ) \cdot \ldots$

Рассмотрим значение каждой такой пары:

$\text{tg } 1^\circ \cdot \text{tg } 89^\circ = \text{tg } 1^\circ \cdot \text{tg}(90^\circ - 1^\circ) = \text{tg } 1^\circ \cdot \text{ctg } 1^\circ = 1$.

$\text{tg } 2^\circ \cdot \text{tg } 88^\circ = \text{tg } 2^\circ \cdot \text{tg}(90^\circ - 2^\circ) = \text{tg } 2^\circ \cdot \text{ctg } 2^\circ = 1$.

Продолжая таким образом, последней парой будет:

$\text{tg } 44^\circ \cdot \text{tg } 46^\circ = \text{tg } 44^\circ \cdot \text{tg}(90^\circ - 44^\circ) = \text{tg } 44^\circ \cdot \text{ctg } 44^\circ = 1$.

Всего в произведении 89 множителей. Мы можем сформировать 44 такие пары, и произведение в каждой из них равно 1. В центре последовательности остается один множитель, у которого нет пары — это $\text{tg } 45^\circ$.

Мы знаем, что $\text{tg } 45^\circ = 1$.

Таким образом, исходное выражение представляет собой произведение 44 единиц (от пар) и еще одной единицы (от центрального члена):

$1 \cdot 1 \cdot \ldots \cdot 1 \cdot \text{tg } 45^\circ = 1^{44} \cdot 1 = 1$.

Ответ: 1.

б) Рассмотрим данное произведение: $\text{ctg } 2^\circ \cdot \text{ctg } 4^\circ \cdot \text{ctg } 6^\circ \cdot \ldots \cdot \text{ctg } 178^\circ$.

Это произведение котангенсов углов, которые образуют арифметическую прогрессию с первым членом $2^\circ$ и шагом $2^\circ$. Последовательность углов выглядит так: $2^\circ, 4^\circ, 6^\circ, \ldots, 88^\circ, 90^\circ, 92^\circ, \ldots, 178^\circ$.

Заметим, что в этой последовательности присутствует угол $90^\circ$. Это означает, что одним из множителей в произведении является $\text{ctg } 90^\circ$.

Найдем значение этого множителя:

$\text{ctg } 90^\circ = \frac{\cos 90^\circ}{\sin 90^\circ} = \frac{0}{1} = 0$.

Поскольку один из множителей в произведении равен нулю, а все остальные множители (вида $\text{ctg}(2k)^\circ$, где $k$ — целое число от 1 до 89) являются определенными конечными числами, то всё произведение равно нулю.

Ответ: 0.

15.18. a) $\sin^2 1^\circ + \sin^2 2^\circ + \sin^2 3^\circ + \dots + \sin^2 90^\circ;$

б) $\cos^2 1^\circ + \cos^2 2^\circ + \cos^2 3^\circ + \dots + \cos^2 180^\circ.$

а)

Для вычисления суммы $S_a = \sin^2 1^\circ + \sin^2 2^\circ + \sin^2 3^\circ + \dots + \sin^2 90^\circ$ воспользуемся формулой приведения $\sin \alpha = \cos(90^\circ - \alpha)$. Возведя обе части в квадрат, получим $\sin^2 \alpha = \cos^2(90^\circ - \alpha)$.

Сумма содержит 90 слагаемых. Сгруппируем их попарно, объединяя первое слагаемое с последним, второе с предпоследним и так далее:

$S_a = (\sin^2 1^\circ + \sin^2 89^\circ) + (\sin^2 2^\circ + \sin^2 88^\circ) + \dots + (\sin^2 44^\circ + \sin^2 46^\circ) + \sin^2 45^\circ + \sin^2 90^\circ$.

Рассмотрим сумму в каждой паре. Например, для первой пары:

$\sin^2 89^\circ = \sin^2(90^\circ - 1^\circ) = \cos^2 1^\circ$.

Тогда сумма в скобках равна $\sin^2 1^\circ + \cos^2 1^\circ = 1$, согласно основному тригонометрическому тождеству.

Аналогично, сумма в каждой из пар $(\sin^2 k^\circ + \sin^2(90^\circ - k^\circ))$ будет равна 1. Таких пар можно составить для $k$ от 1 до 44, то есть всего 44 пары. Их общая сумма составит $44 \times 1 = 44$.

После суммирования пар у нас остались два слагаемых, которые не вошли в пары: $\sin^2 45^\circ$ и $\sin^2 90^\circ$.

Вычислим их значения:

$\sin^2 45^\circ = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$\sin^2 90^\circ = 1^2 = 1$

Теперь найдем итоговую сумму, сложив сумму пар и оставшиеся слагаемые:

$S_a = 44 + \frac{1}{2} + 1 = 45.5$.

Ответ: $45.5$

б)

Рассмотрим сумму $S_b = \cos^2 1^\circ + \cos^2 2^\circ + \cos^2 3^\circ + \dots + \cos^2 180^\circ$.

Сумма состоит из 180 слагаемых. Разобьем ее на две части: слагаемые от 1° до 90° и слагаемые от 91° до 180°.

$S_b = (\cos^2 1^\circ + \cos^2 2^\circ + \dots + \cos^2 90^\circ) + (\cos^2 91^\circ + \cos^2 92^\circ + \dots + \cos^2 180^\circ)$.

Для преобразования второй части суммы воспользуемся формулой приведения $\cos(90^\circ + \alpha) = -\sin \alpha$. Возведя в квадрат, получим $\cos^2(90^\circ + \alpha) = \sin^2 \alpha$.

Применим эту формулу к каждому слагаемому во второй скобке:

$\cos^2 91^\circ = \cos^2(90^\circ + 1^\circ) = \sin^2 1^\circ$

$\cos^2 92^\circ = \cos^2(90^\circ + 2^\circ) = \sin^2 2^\circ$

...

$\cos^2 180^\circ = \cos^2(90^\circ + 90^\circ) = \sin^2 90^\circ$

Таким образом, вторая часть исходной суммы равна $\sin^2 1^\circ + \sin^2 2^\circ + \dots + \sin^2 90^\circ$.

Подставим это выражение обратно в $S_b$:

$S_b = (\cos^2 1^\circ + \cos^2 2^\circ + \dots + \cos^2 90^\circ) + (\sin^2 1^\circ + \sin^2 2^\circ + \dots + \sin^2 90^\circ)$.

Теперь сгруппируем слагаемые с одинаковыми углами:

$S_b = (\cos^2 1^\circ + \sin^2 1^\circ) + (\cos^2 2^\circ + \sin^2 2^\circ) + \dots + (\cos^2 90^\circ + \sin^2 90^\circ)$.

Сумма в каждой скобке, согласно основному тригонометрическому тождеству $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$, равна единице.

Всего у нас 90 таких скобок (для углов от 1° до 90°). Следовательно, общая сумма равна:

$S_b = \underbrace{1 + 1 + \dots + 1}_{90 \text{ слагаемых}} = 90$.

Ответ: $90$

15.19. Докажите, что верно равенство:

a) $(4 \sin 30^\circ + \operatorname{tg} 60^\circ)\left(\frac{1}{\cos (-60^\circ)} + \operatorname{ctg} 150^\circ\right) = 2 \sin 150^\circ;$

б) $(\operatorname{ctg} 210^\circ + 2 \cos 120^\circ)(\operatorname{tg} 420^\circ - 2 \sin 330^\circ) = 4 \cos^2 315^\circ.$

а)

Для доказательства равенства преобразуем его левую и правую части по отдельности.

Левая часть: $(4\sin 30^\circ + \operatorname{tg} 60^\circ) \left( \frac{1}{\cos(-60^\circ)} + \operatorname{ctg} 150^\circ \right)$.

Найдем значения тригонометрических функций, входящих в выражение:

$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

$\operatorname{tg} 60^\circ = \sqrt{3}$

$\cos(-60^\circ) = \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$ (так как функция косинуса является четной).

$\operatorname{ctg} 150^\circ = \operatorname{ctg}(180^\circ - 30^\circ) = -\operatorname{ctg} 30^\circ = -\sqrt{3}$ (используя формулы приведения).

Подставим найденные значения в левую часть:

$(4 \cdot \frac{1}{2} + \sqrt{3}) \left( \frac{1}{\frac{1}{2}} + (-\sqrt{3}) \right) = (2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})$.

Воспользуемся формулой разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$.

Правая часть: $2\sin 150^\circ$.

Найдем значение выражения, используя формулу приведения:

$2\sin 150^\circ = 2\sin(180^\circ - 30^\circ) = 2\sin 30^\circ = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$.

Мы получили, что левая часть равна $1$ и правая часть равна $1$. Таким образом, $1 = 1$. Равенство верно.

Ответ: Равенство доказано.

б)

Для доказательства равенства также преобразуем его левую и правую части по отдельности.

Левая часть: $(\operatorname{ctg} 210^\circ + 2\cos 120^\circ)(\operatorname{tg} 420^\circ - 2\sin 330^\circ)$.

Найдем значения тригонометрических функций, используя формулы приведения и периодичность:

$\operatorname{ctg} 210^\circ = \operatorname{ctg}(180^\circ + 30^\circ) = \operatorname{ctg} 30^\circ = \sqrt{3}$.

$\cos 120^\circ = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}$.

$\operatorname{tg} 420^\circ = \operatorname{tg}(360^\circ + 60^\circ) = \operatorname{tg} 60^\circ = \sqrt{3}$.

$\sin 330^\circ = \sin(360^\circ - 30^\circ) = -\sin 30^\circ = -\frac{1}{2}$.

Подставим найденные значения в левую часть:

$(\sqrt{3} + 2 \cdot (-\frac{1}{2}))(\sqrt{3} - 2 \cdot (-\frac{1}{2})) = (\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)$.

Снова применим формулу разности квадратов:

$(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1) = (\sqrt{3})^2 - 1^2 = 3 - 1 = 2$.

Правая часть: $4\cos^2 315^\circ$.

Найдем значение выражения:

$\cos 315^\circ = \cos(360^\circ - 45^\circ) = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Теперь вычислим правую часть:

$4\cos^2 315^\circ = 4 \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 4 \cdot \frac{2}{4} = 2$.

Мы получили, что левая часть равна $2$ и правая часть равна $2$. Таким образом, $2 = 2$. Равенство верно.

Ответ: Равенство доказано.

15.20. Дано выражение $\sin 1^\circ \sin 2^\circ \sin 3^\circ \cdots \sin n^\circ$.

а) При каких натуральных значениях $n$ это выражение положительно?

б) При каких натуральных значениях $n$ это выражение отрицательно?

в) При каких натуральных значениях $n$ это выражение равно нулю?

а) При каких натуральных значениях n это выражение положительно?

Знак произведения $\sin 1^\circ \sin 2^\circ \cdots \sin n^\circ$ зависит от знаков его множителей. Выражение будет положительным, если оно не равно нулю и число отрицательных множителей в нем четное (включая ноль).

Множитель $\sin k^\circ$ положителен, если аргумент $k^\circ$ находится в интервале $(0^\circ; 180^\circ)$. Это соответствует натуральным значениям $k$ от 1 до 179.

Если $1 \le n \le 179$, то для всех множителей $\sin k^\circ$ в произведении (где $k=1, 2, \dots, n$) выполняется условие $0^\circ < k^\circ < 180^\circ$, а значит, все они положительны. Произведение положительных чисел всегда положительно.

Если $n \ge 180$, выражение равно нулю (см. пункт в)).Следовательно, данное выражение положительно только при натуральных значениях $n$ от 1 до 179.

Ответ: при всех натуральных $n$ таких, что $1 \le n \le 179$.

б) При каких натуральных значениях n это выражение отрицательно?

Выражение было бы отрицательным, если бы оно не было равно нулю и содержало нечетное число отрицательных множителей.

Как показано в пункте а), при $1 \le n \le 179$ все множители положительны, поэтому произведение также положительно.

Как показано в пункте в), при $n \ge 180$ произведение равно нулю.

Таким образом, не существует натуральных значений $n$, при которых данное выражение было бы отрицательным.

Ответ: таких натуральных значений $n$ не существует.

в) При каких натуральных значениях n это выражение равно нулю?

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из его множителей равен нулю.

Множитель $\sin k^\circ$ равен нулю, если его аргумент $k^\circ$ кратен $180^\circ$. Поскольку $k$ — натуральное число, это условие выполняется, когда $k$ является целым положительным числом, кратным 180, то есть $k = 180, 360, 540, \dots$. Формально, $k = 180m$ для любого $m \in \mathbb{N}$.

Чтобы в произведении $\sin 1^\circ \sin 2^\circ \cdots \sin n^\circ$ нашелся множитель, равный нулю, необходимо, чтобы последовательность чисел $1, 2, \dots, n$ содержала хотя бы одно число, кратное 180. Наименьшее такое натуральное число — это 180.

Следовательно, выражение равно нулю при всех натуральных значениях $n$, которые не меньше 180.

Ответ: при всех натуральных $n$ таких, что $n \ge 180$.