Номер 15.17, страница 100, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

15.17. a) $\text{tg } 1^\circ \text{tg } 2^\circ \text{tg } 3^\circ \dots \text{tg } 89^\circ;$

б) $\text{ctg } 2^\circ \text{ctg } 4^\circ \text{ctg } 6^\circ \dots \text{ctg } 178^\circ.$

а) Рассмотрим данное произведение: $\text{tg } 1^\circ \cdot \text{tg } 2^\circ \cdot \text{tg } 3^\circ \cdot \ldots \cdot \text{tg } 89^\circ$.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой приведения $\text{tg}(90^\circ - \alpha) = \text{ctg } \alpha$ и основным тригонометрическим соотношением $\text{tg } \alpha \cdot \text{ctg } \alpha = 1$.

Сгруппируем множители в произведении, соединяя первый с последним, второй с предпоследним и так далее:

$(\text{tg } 1^\circ \cdot \text{tg } 89^\circ) \cdot (\text{tg } 2^\circ \cdot \text{tg } 88^\circ) \cdot \ldots$

Рассмотрим значение каждой такой пары:

$\text{tg } 1^\circ \cdot \text{tg } 89^\circ = \text{tg } 1^\circ \cdot \text{tg}(90^\circ - 1^\circ) = \text{tg } 1^\circ \cdot \text{ctg } 1^\circ = 1$.

$\text{tg } 2^\circ \cdot \text{tg } 88^\circ = \text{tg } 2^\circ \cdot \text{tg}(90^\circ - 2^\circ) = \text{tg } 2^\circ \cdot \text{ctg } 2^\circ = 1$.

Продолжая таким образом, последней парой будет:

$\text{tg } 44^\circ \cdot \text{tg } 46^\circ = \text{tg } 44^\circ \cdot \text{tg}(90^\circ - 44^\circ) = \text{tg } 44^\circ \cdot \text{ctg } 44^\circ = 1$.

Всего в произведении 89 множителей. Мы можем сформировать 44 такие пары, и произведение в каждой из них равно 1. В центре последовательности остается один множитель, у которого нет пары — это $\text{tg } 45^\circ$.

Мы знаем, что $\text{tg } 45^\circ = 1$.

Таким образом, исходное выражение представляет собой произведение 44 единиц (от пар) и еще одной единицы (от центрального члена):

$1 \cdot 1 \cdot \ldots \cdot 1 \cdot \text{tg } 45^\circ = 1^{44} \cdot 1 = 1$.

Ответ: 1.

б) Рассмотрим данное произведение: $\text{ctg } 2^\circ \cdot \text{ctg } 4^\circ \cdot \text{ctg } 6^\circ \cdot \ldots \cdot \text{ctg } 178^\circ$.

Это произведение котангенсов углов, которые образуют арифметическую прогрессию с первым членом $2^\circ$ и шагом $2^\circ$. Последовательность углов выглядит так: $2^\circ, 4^\circ, 6^\circ, \ldots, 88^\circ, 90^\circ, 92^\circ, \ldots, 178^\circ$.

Заметим, что в этой последовательности присутствует угол $90^\circ$. Это означает, что одним из множителей в произведении является $\text{ctg } 90^\circ$.

Найдем значение этого множителя:

$\text{ctg } 90^\circ = \frac{\cos 90^\circ}{\sin 90^\circ} = \frac{0}{1} = 0$.

Поскольку один из множителей в произведении равен нулю, а все остальные множители (вида $\text{ctg}(2k)^\circ$, где $k$ — целое число от 1 до 89) являются определенными конечными числами, то всё произведение равно нулю.

Ответ: 0.