Номер 15.21, страница 101, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

15.21. Дано выражение $ \cos 1^\circ \cos 2^\circ \cos 3^\circ \dots \cos n^\circ $.

а) При каких натуральных значениях $n$ это выражение положительно?

б) При каких натуральных значениях $n$ это выражение отрицательно?

в) При каких натуральных значениях $n$ это выражение равно нулю?

а) При каких натуральных значениях $n$ это выражение положительно?

Рассмотрим выражение $P(n) = \cos 1^\circ \cos 2^\circ \cos 3^\circ \cdots \cos n^\circ$. Знак этого произведения зависит от знаков множителей $\cos k^\circ$ для $k$ от $1$ до $n$.

Произведение будет положительным, если оно не равно нулю и содержит четное число отрицательных множителей.

Выражение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Множитель $\cos k^\circ$ равен нулю, когда $k$ является нечетным кратным $90$ (т.е. $k = 90, 270, 450, \dots$). Наименьшее такое натуральное значение $k$ равно $90$. Следовательно, если $n \ge 90$, то произведение будет содержать множитель $\cos 90^\circ = 0$, и все выражение будет равно нулю. Таким образом, для того чтобы выражение было положительным, должно выполняться условие $n < 90$.

Рассмотрим натуральные значения $n$ в диапазоне $1 \le n \le 89$. Для любого целого числа $k$ из этого диапазона ($1 \le k \le 89$), угол $k^\circ$ находится в первой координатной четверти ($0^\circ < k^\circ < 90^\circ$). Косинус любого угла в первой четверти положителен.Следовательно, все множители $\cos 1^\circ, \cos 2^\circ, \dots, \cos n^\circ$ в произведении будут положительными.

Произведение любого количества положительных чисел всегда положительно. Значит, при $n$ от $1$ до $89$ выражение будет положительным.

Ответ: при всех натуральных значениях $n$ от $1$ до $89$ включительно, то есть $1 \le n \le 89$.

б) При каких натуральных значениях $n$ это выражение отрицательно?

Для того чтобы выражение было отрицательным, оно не должно быть равно нулю (что, как мы выяснили, требует $n < 90$) и должно содержать нечетное число отрицательных множителей.

Рассмотрим диапазон натуральных чисел $n$, при которых выражение не равно нулю, то есть $1 \le n \le 89$. Как было показано в пункте а), для любого $k$ из этого диапазона ($1 \le k \le 89$), значение $\cos k^\circ$ является положительным.

Таким образом, при $1 \le n \le 89$ в произведении нет ни одного отрицательного множителя. Число отрицательных множителей равно нулю, что является четным числом, поэтому произведение положительно.

При $n \ge 90$ выражение равно нулю, а не отрицательно.

Следовательно, не существует натуральных значений $n$, при которых данное выражение было бы отрицательным.

Ответ: таких натуральных значений $n$ не существует.

в) При каких натуральных значениях $n$ это выражение равно нулю?

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из его множителей равен нулю.

Множитель $\cos k^\circ$ равен нулю, если угол $k^\circ$ равен $90^\circ + 180^\circ \cdot m$, где $m$ — целое неотрицательное число. Поскольку $k$ — натуральное число, то возможные значения $k$:

при $m=0$: $k = 90$

при $m=1$: $k = 270$

при $m=2$: $k = 450$

и так далее.

Чтобы произведение $P(n) = \cos 1^\circ \cos 2^\circ \cdots \cos n^\circ$ содержало множитель, равный нулю, верхний предел $n$ должен быть не меньше, чем наименьшее из этих значений $k$. Наименьшее такое значение $k$ равно $90$.

Таким образом, если $n \ge 90$, то в последовательности множителей от $\cos 1^\circ$ до $\cos n^\circ$ обязательно встретится множитель $\cos 90^\circ$, который равен нулю. Это обращает в ноль все произведение.

Ответ: при всех натуральных значениях $n \ge 90$.