Номер 16.3, страница 102, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

16.3. Принадлежит ли графику функции $y = -\sin \left(x + \frac{\pi}{6}\right) + 2$

точка:

а) $(0; \frac{3}{2});$

б) $(\frac{\pi}{6}; -\frac{\sqrt{3}}{2} + 2);$

в) $(\frac{2\pi}{3}; \frac{3}{2});$

г) $(4\pi; 2,5)?$

Чтобы определить, принадлежит ли точка графику функции, необходимо подставить ее координаты $(x_0; y_0)$ в уравнение функции $y = -\sin(x + \frac{\pi}{6}) + 2$. Если в результате подстановки получится верное числовое равенство $y_0 = -\sin(x_0 + \frac{\pi}{6}) + 2$, то точка принадлежит графику. В противном случае — не принадлежит.

а) Проверим точку $(0; \frac{3}{2})$.

Подставим значение $x = 0$ в уравнение функции и вычислим соответствующее значение $y$:

$y = -\sin(0 + \frac{\pi}{6}) + 2 = -\sin(\frac{\pi}{6}) + 2$

Зная табличное значение синуса $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, получаем:

$y = -\frac{1}{2} + 2 = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

Вычисленное значение $y = \frac{3}{2}$ совпадает с ординатой данной точки. Следовательно, точка принадлежит графику функции.

Ответ: да, принадлежит.

б) Проверим точку $(\frac{\pi}{6}; -\frac{\sqrt{3}}{2} + 2)$.

Подставим значение $x = \frac{\pi}{6}$ в уравнение функции:

$y = -\sin(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6}) + 2 = -\sin(\frac{2\pi}{6}) + 2 = -\sin(\frac{\pi}{3}) + 2$

Зная табличное значение синуса $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$y = -\frac{\sqrt{3}}{2} + 2$

Вычисленное значение $y = -\frac{\sqrt{3}}{2} + 2$ совпадает с ординатой данной точки. Следовательно, точка принадлежит графику функции.

Ответ: да, принадлежит.

в) Проверим точку $(\frac{2\pi}{3}; \frac{3}{2})$.

Подставим значение $x = \frac{2\pi}{3}$ в уравнение функции:

$y = -\sin(\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{6}) + 2$

Приведем дроби в аргументе синуса к общему знаменателю: $\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

$y = -\sin(\frac{5\pi}{6}) + 2$

Используя формулу приведения $\sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha)$, находим значение синуса: $\sin(\frac{5\pi}{6}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.

Тогда:

$y = -\frac{1}{2} + 2 = \frac{3}{2}$

Вычисленное значение $y = \frac{3}{2}$ совпадает с ординатой данной точки. Следовательно, точка принадлежит графику функции.

Ответ: да, принадлежит.

г) Проверим точку $(4\pi; 2,5)$.

Подставим значение $x = 4\pi$ в уравнение функции:

$y = -\sin(4\pi + \frac{\pi}{6}) + 2$

Так как период функции синус равен $2\pi$, то $\sin(4\pi + \alpha) = \sin(2 \cdot 2\pi + \alpha) = \sin(\alpha)$.

$y = -\sin(\frac{\pi}{6}) + 2$

Зная, что $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, получаем:

$y = -\frac{1}{2} + 2 = \frac{3}{2} = 1,5$

Вычисленное значение $y = 1,5$ не совпадает с ординатой данной точки $2,5$ ($1,5 \neq 2,5$). Следовательно, точка не принадлежит графику функции.

Ответ: нет, не принадлежит.