Номер 16.9, страница 103, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Постройте график функции:

16.9. а) $y = \sin x - 2$;

б) $y = \sin x + 1;$

в) $y = \sin x + 2;$

г) $y = \sin x - 3.$

а) $y = \sin x - 2$

Чтобы построить график функции $y = \sin x - 2$, мы будем преобразовывать график базовой функции $y = \sin x$.

Преобразование вида $y = f(x) + c$ представляет собой параллельный перенос (сдвиг) графика функции $y = f(x)$ вдоль оси ординат $Oy$. Если $c$ — отрицательное число, сдвиг происходит вниз на $|c|$ единиц.

В данном случае у нас функция $y = \sin x$ и $c = -2$. Это означает, что для получения графика $y = \sin x - 2$, нужно сместить график $y = \sin x$ на 2 единицы вниз.

Порядок построения:

1. Сначала строим известный график функции $y = \sin x$. Это периодическая кривая (синусоида), которая колеблется между -1 и 1 с периодом $2\pi$. Её ключевые точки на отрезке $[0, 2\pi]$: $(0, 0)$, $(\frac{\pi}{2}, 1)$, $(\pi, 0)$, $(\frac{3\pi}{2}, -1)$, $(2\pi, 0)$.
2. Далее, каждую точку этого графика смещаем на 2 единицы вниз. Точка с координатами $(x_0, y_0)$ на графике $y = \sin x$ переходит в точку с координатами $(x_0, y_0 - 2)$.
3. Новые координаты ключевых точек будут:
   • $(0, 0 - 2) \rightarrow (0, -2)$
   • $(\frac{\pi}{2}, 1 - 2) \rightarrow (\frac{\pi}{2}, -1)$
   • $(\pi, 0 - 2) \rightarrow (\pi, -2)$
   • $(\frac{3\pi}{2}, -1 - 2) \rightarrow (\frac{3\pi}{2}, -3)$
   • $(2\pi, 0 - 2) \rightarrow (2\pi, -2)$
4. Соединяя новые точки плавной линией, мы получаем искомый график.

Область значений исходной функции $y = \sin x$ — это отрезок $[-1, 1]$. После сдвига на 2 единицы вниз, новая область значений будет $[-1-2, 1-2]$, то есть $E(y) = [-3, -1]$.

Ответ: График функции $y = \sin x - 2$ — это синусоида, полученная сдвигом графика $y = \sin x$ на 2 единицы вниз вдоль оси $Oy$. Область значений функции: $[-3, -1]$.

б) $y = \sin x + 1$

График функции $y = \sin x + 1$ строится на основе графика $y = \sin x$ путем его преобразования.

Преобразование $y = f(x) + c$ при $c > 0$ является параллельным переносом графика $y = f(x)$ на $c$ единиц вверх вдоль оси ординат $Oy$.

В нашем случае $f(x) = \sin x$ и $c = 1$. Следовательно, мы должны сдвинуть график $y = \sin x$ на 1 единицу вверх.

Порядок построения:

1. Строим график функции $y = \sin x$ (синусоиду с периодом $2\pi$ и амплитудой 1). Ключевые точки: $(0, 0)$, $(\frac{\pi}{2}, 1)$, $(\pi, 0)$, $(\frac{3\pi}{2}, -1)$, $(2\pi, 0)$.
2. Осуществляем параллельный перенос этого графика на 1 единицу вверх. Каждая точка $(x_0, y_0)$ переходит в точку $(x_0, y_0 + 1)$.
3. Новые координаты ключевых точек:
   • $(0, 0 + 1) \rightarrow (0, 1)$
   • $(\frac{\pi}{2}, 1 + 1) \rightarrow (\frac{\pi}{2}, 2)$
   • $(\pi, 0 + 1) \rightarrow (\pi, 1)$
   • $(\frac{3\pi}{2}, -1 + 1) \rightarrow (\frac{3\pi}{2}, 0)$
   • $(2\pi, 0 + 1) \rightarrow (2\pi, 1)$
4. Соединяем полученные точки плавной кривой.

Область значений функции $y = \sin x$ — это $[-1, 1]$. После сдвига на 1 единицу вверх, новая область значений становится $[-1+1, 1+1]$, то есть $E(y) = [0, 2]$.

Ответ: График функции $y = \sin x + 1$ — это синусоида, полученная сдвигом графика $y = \sin x$ на 1 единицу вверх вдоль оси $Oy$. Область значений функции: $[0, 2]$.

в) $y = \sin x + 2$

Для построения графика функции $y = \sin x + 2$ используем преобразование графика $y = \sin x$.

Так как преобразование имеет вид $y = f(x) + c$ с $c = 2 > 0$, необходимо выполнить параллельный перенос графика $y = \sin x$ на 2 единицы вверх по оси $Oy$.

Порядок построения:

1. Строим график $y = \sin x$. Ключевые точки на периоде $[0, 2\pi]$: $(0, 0)$, $(\frac{\pi}{2}, 1)$, $(\pi, 0)$, $(\frac{3\pi}{2}, -1)$, $(2\pi, 0)$.
2. Сдвигаем построенный график на 2 единицы вверх. Каждая точка $(x_0, y_0)$ преобразуется в точку $(x_0, y_0 + 2)$.
3. Новые координаты ключевых точек:
   • $(0, 0 + 2) \rightarrow (0, 2)$
   • $(\frac{\pi}{2}, 1 + 2) \rightarrow (\frac{\pi}{2}, 3)$
   • $(\pi, 0 + 2) \rightarrow (\pi, 2)$
   • $(\frac{3\pi}{2}, -1 + 2) \rightarrow (\frac{3\pi}{2}, 1)$
   • $(2\pi, 0 + 2) \rightarrow (2\pi, 2)$
4. Соединяем точки плавной линией, повторяющей форму синусоиды.

Область значений функции $y = \sin x$ - это $[-1, 1]$. После сдвига на 2 единицы вверх, новая область значений будет $[-1+2, 1+2]$, то есть $E(y) = [1, 3]$.

Ответ: График функции $y = \sin x + 2$ — это синусоида, полученная сдвигом графика $y = \sin x$ на 2 единицы вверх вдоль оси $Oy$. Область значений функции: $[1, 3]$.

г) $y = \sin x - 3$

График функции $y = \sin x - 3$ получается из графика $y = \sin x$ с помощью параллельного переноса.

Преобразование $y = f(x) + c$ при $c = -3 < 0$ означает сдвиг графика $y = f(x)$ на $|-3| = 3$ единицы вниз вдоль оси $Oy$.

Порядок построения:

1. Строим базовый график $y = \sin x$. Ключевые точки: $(0, 0)$, $(\frac{\pi}{2}, 1)$, $(\pi, 0)$, $(\frac{3\pi}{2}, -1)$, $(2\pi, 0)$.
2. Смещаем этот график на 3 единицы вниз. Каждая точка $(x_0, y_0)$ переходит в точку $(x_0, y_0 - 3)$.
3. Новые координаты ключевых точек:
   • $(0, 0 - 3) \rightarrow (0, -3)$
   • $(\frac{\pi}{2}, 1 - 3) \rightarrow (\frac{\pi}{2}, -2)$
   • $(\pi, 0 - 3) \rightarrow (\pi, -3)$
   • $(\frac{3\pi}{2}, -1 - 3) \rightarrow (\frac{3\pi}{2}, -4)$
   • $(2\pi, 0 - 3) \rightarrow (2\pi, -3)$
4. Соединяем новые точки плавной кривой, сохраняя форму синусоиды.

Область значений функции $y = \sin x$, равная $[-1, 1]$, после сдвига на 3 единицы вниз, превращается в отрезок $[-1-3, 1-3]$, то есть $E(y) = [-4, -2]$.

Ответ: График функции $y = \sin x - 3$ — это синусоида, полученная сдвигом графика $y = \sin x$ на 3 единицы вниз вдоль оси $Oy$. Область значений функции: $[-4, -2]$.