Номер 16.13, страница 103, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

16.13. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции

$y = \sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right) + 0,5$ на промежутке:

а) $\left[ \frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4} \right];$

б) $\left( \frac{3\pi}{4}; \frac{9\pi}{4} \right);$

в) $[0; \pi);$

г) $\left[ \frac{\pi}{4}; +\infty \right).$

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = \sin(x - \frac{\pi}{4}) + 0.5$ на заданных промежутках, мы проанализируем поведение функции на каждом из них. Область значений функции $\sin(t)$ - это отрезок $[-1, 1]$, поэтому область значений функции $y$ находится в пределах $[-1 + 0.5, 1 + 0.5] = [-0.5, 1.5]$. Для удобства анализа введем замену $t = x - \frac{\pi}{4}$.

а) На промежутке $x \in [\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}]$
Сделаем замену $t = x - \frac{\pi}{4}$. Если $x$ изменяется от $\frac{\pi}{4}$ до $\frac{3\pi}{4}$, то $t$ изменяется от $\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = 0$ до $\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$. Итак, мы ищем значения функции $y = \sin(t) + 0.5$ на отрезке $t \in [0; \frac{\pi}{2}]$. На этом отрезке функция $\sin(t)$ монотонно возрастает от $\sin(0) = 0$ до $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$. Наименьшее значение функции $y$ достигается при $t=0$: $y_{наим} = 0 + 0.5 = 0.5$. Наибольшее значение функции $y$ достигается при $t=\frac{\pi}{2}$: $y_{наиб} = 1 + 0.5 = 1.5$.
Ответ: наименьшее значение $0.5$, наибольшее значение $1.5$.

б) На промежутке $x \in (\frac{3\pi}{4}; \frac{9\pi}{4})$
Сделаем замену $t = x - \frac{\pi}{4}$. Если $x$ изменяется на интервале $(\frac{3\pi}{4}; \frac{9\pi}{4})$, то $t$ изменяется на интервале $(\frac{2\pi}{4}; 2\pi) = (\frac{\pi}{2}; 2\pi)$. Мы ищем значения функции $y = \sin(t) + 0.5$ на интервале $t \in (\frac{\pi}{2}; 2\pi)$. На этом интервале функция $\sin(t)$ достигает своего минимума в точке $t = \frac{3\pi}{2}$, который равен $\sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$. Эта точка принадлежит нашему интервалу. Следовательно, наименьшее значение функции $y$ равно: $y_{наим} = -1 + 0.5 = -0.5$. Максимум функции $\sin(t)$, равный $1$, достигается в точке $t=\frac{\pi}{2}$. Эта точка не принадлежит интервалу $(\frac{\pi}{2}; 2\pi)$, поэтому наибольшего значения на данном интервале функция не достигает. Её значения лишь стремятся к $1+0.5=1.5$.
Ответ: наименьшее значение $-0.5$, наибольшего значения не существует.

в) На промежутке $x \in [0; \pi]$
Сделаем замену $t = x - \frac{\pi}{4}$. Если $x$ изменяется от $0$ до $\pi$, то $t$ изменяется от $0 - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4}$ до $\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$. Мы ищем значения функции $y = \sin(t) + 0.5$ на отрезке $t \in [-\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}]$. На этом отрезке находится точка $t = \frac{\pi}{2}$, в которой $\sin(t)$ достигает своего глобального максимума, равного $1$. Следовательно, наибольшее значение функции $y$ равно: $y_{наиб} = 1 + 0.5 = 1.5$. Глобальный минимум функции $\sin(t)$ не достигается на отрезке $[-\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}]$, поэтому наименьшее значение следует искать на концах отрезка. При $t = -\frac{\pi}{4}$, $\sin(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. При $t = \frac{3\pi}{4}$, $\sin(\frac{3\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Наименьшее значение $\sin(t)$ на отрезке равно $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Следовательно, наименьшее значение функции $y$ равно: $y_{наим} = -\frac{\sqrt{2}}{2} + 0.5$.
Ответ: наименьшее значение $0.5 - \frac{\sqrt{2}}{2}$, наибольшее значение $1.5$.

г) На промежутке $x \in [\frac{\pi}{4}; +\infty)$
Сделаем замену $t = x - \frac{\pi}{4}$. Если $x$ изменяется на луче $[\frac{\pi}{4}; +\infty)$, то $t$ изменяется на луче $[0; +\infty)$. Мы ищем значения функции $y = \sin(t) + 0.5$ на промежутке $t \in [0; +\infty)$. На этом промежутке функция $\sin(t)$ пробегает все свои возможные значения от $-1$ до $1$, так как промежуток содержит полные периоды функции. Наименьшее значение $\sin(t)$ равно $-1$. Следовательно, наименьшее значение функции $y$ равно: $y_{наим} = -1 + 0.5 = -0.5$. Наибольшее значение $\sin(t)$ равно $1$. Следовательно, наибольшее значение функции $y$ равно: $y_{наиб} = 1 + 0.5 = 1.5$.
Ответ: наименьшее значение $-0.5$, наибольшее значение $1.5$.