Номер 16.18, страница 104, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

16.18. Докажите, что функция $y = \sin x$:

а) возрастает на отрезке $[12; 13]$;

б) убывает на интервале $(8; 10)$;

в) достигает на интервале $(7; 12)$ наименьшего и наибольшего значений;

г) не достигает на интервале $(-1; 1)$ ни наименьшего, ни наибольшего значений.

а) Для того чтобы доказать, что функция $y = \sin x$ возрастает на отрезке $[12; 13]$, найдем ее производную: $y' = (\sin x)' = \cos x$.

Функция возрастает на интервале, где ее производная положительна, то есть, где $\cos x > 0$. Это выполняется на интервалах вида $(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k$ - целое число.

Оценим, в какой из этих интервалов попадает отрезок $[12; 13]$. Используем приближенное значение $\pi \approx 3.1416$.

При $k=2$, интервал возрастания будет $(-\frac{\pi}{2} + 4\pi; \frac{\pi}{2} + 4\pi) = (\frac{7\pi}{2}; \frac{9\pi}{2})$.

Вычислим границы этого интервала:
$\frac{7\pi}{2} \approx \frac{7 \times 3.1416}{2} \approx 10.9956$
$\frac{9\pi}{2} \approx \frac{9 \times 3.1416}{2} \approx 14.1372$

Таким образом, интервал возрастания - это примерно $(10.9956; 14.1372)$.

Отрезок $[12; 13]$ полностью содержится в этом интервале: $[12; 13] \subset (\frac{7\pi}{2}; \frac{9\pi}{2})$.

Поскольку производная $y' = \cos x$ положительна на всем отрезке $[12; 13]$, функция $y = \sin x$ на этом отрезке возрастает, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

б) Чтобы доказать, что функция $y = \sin x$ убывает на интервале $(8; 10)$, мы также используем ее производную $y' = \cos x$.

Функция убывает, когда ее производная отрицательна, то есть $\cos x < 0$. Это происходит на интервалах вида $(\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k$ - целое число.

Найдем интервал, содержащий $(8; 10)$. Возьмем $k=1$.

Интервал убывания будет $(\frac{\pi}{2} + 2\pi; \frac{3\pi}{2} + 2\pi) = (\frac{5\pi}{2}; \frac{7\pi}{2})$.

Вычислим границы этого интервала:
$\frac{5\pi}{2} \approx \frac{5 \times 3.1416}{2} \approx 7.854$
$\frac{7\pi}{2} \approx \frac{7 \times 3.1416}{2} \approx 10.9956$

Таким образом, интервал убывания - это примерно $(7.854; 10.9956)$.

Интервал $(8; 10)$ полностью содержится в этом интервале: $(8; 10) \subset (\frac{5\pi}{2}; \frac{7\pi}{2})$.

Так как производная $y' = \cos x$ отрицательна на всем интервале $(8; 10)$, функция $y = \sin x$ на этом интервале убывает, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

в) Необходимо доказать, что на интервале $(7; 12)$ функция $y = \sin x$ достигает своего наименьшего и наибольшего значений. Область значений функции синус - это отрезок $[-1; 1]$. Наибольшее значение равно $1$, а наименьшее равно $-1$.

Наибольшее значение $1$ функция $\sin x$ принимает в точках $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ - целое число.

Проверим, попадает ли какая-либо из этих точек в интервал $(7; 12)$. При $k=1$:
$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2} \approx \frac{5 \times 3.1416}{2} \approx 7.854$.
Поскольку $7 < 7.854 < 12$, точка $x = \frac{5\pi}{2}$ принадлежит интервалу $(7; 12)$. В этой точке функция достигает своего наибольшего значения $\sin(\frac{5\pi}{2}) = 1$.

Наименьшее значение $-1$ функция $\sin x$ принимает в точках $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ - целое число.

Проверим, попадает ли какая-либо из этих точек в интервал $(7; 12)$. При $k=1$:
$x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi = \frac{7\pi}{2} \approx \frac{7 \times 3.1416}{2} \approx 10.9956$.
Поскольку $7 < 10.9956 < 12$, точка $x = \frac{7\pi}{2}$ принадлежит интервалу $(7; 12)$. В этой точке функция достигает своего наименьшего значения $\sin(\frac{7\pi}{2}) = -1$.

Так как на интервале $(7; 12)$ существуют точки, в которых функция принимает свои глобальные максимальное и минимальное значения, утверждение доказано.

Ответ: Доказано.

г) Необходимо доказать, что на интервале $(-1; 1)$ функция $y = \sin x$ не достигает ни наименьшего, ни наибольшего значений.

Рассмотрим производную $y' = \cos x$. На интервале $(-1; 1)$, который является частью интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) \approx (-1.57; 1.57)$, производная $\cos x$ строго положительна. Следовательно, функция $y = \sin x$ строго возрастает на всем интервале $(-1; 1)$.

Пусть функция достигает своего наибольшего значения $M$ в некоторой точке $x_0 \in (-1; 1)$. Тогда $M = \sin(x_0)$. Но так как $x_0 < 1$, можно выбрать точку $x_1$ такую, что $x_0 < x_1 < 1$. В силу строгого возрастания функции, $\sin(x_1) > \sin(x_0) = M$, что противоречит предположению о том, что $M$ - наибольшее значение. Следовательно, наибольшее значение на интервале $(-1; 1)$ не достигается.

Аналогично, пусть функция достигает своего наименьшего значения $m$ в некоторой точке $x_0 \in (-1; 1)$. Тогда $m = \sin(x_0)$. Но так как $x_0 > -1$, можно выбрать точку $x_1$ такую, что $-1 < x_1 < x_0$. В силу строгого возрастания функции, $\sin(x_1) < \sin(x_0) = m$, что противоречит предположению о том, что $m$ - наименьшее значение. Следовательно, наименьшее значение на интервале $(-1; 1)$ также не достигается.

Таким образом, на интервале $(-1; 1)$ функция $y = \sin x$ не достигает ни наименьшего, ни наибольшего значения.

Ответ: Доказано.