Номер 16.17, страница 103, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

16.17. На каких промежутках функция $y = \sin \left(x - \frac{\pi}{3}\right):$

а) возрастает;

б) убывает?

Чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции $y = \sin(x - \frac{\pi}{3})$, мы можем проанализировать стандартную функцию синуса $y = \sin(t)$ и затем учесть сдвиг аргумента.

Функция $y = \sin(t)$ является периодической с периодом $2\pi$. Её монотонность на одном периоде определяет её монотонность на всей числовой прямой.

а) возрастает;

Функция $y = \sin(t)$ возрастает на промежутках, где её значение увеличивается от -1 до 1. Стандартный промежуток возрастания для синуса — это $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Учитывая периодичность, все промежутки возрастания имеют вид $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае аргумент $t = x - \frac{\pi}{3}$. Чтобы найти промежутки возрастания для исходной функции, мы должны решить двойное неравенство:

$-\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le x - \frac{\pi}{3} \le \frac{\pi}{2} + 2\pi k$

Для нахождения $x$, прибавим $\frac{\pi}{3}$ ко всем частям неравенства:

$-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + 2\pi k \le x \le \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + 2\pi k$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$-\frac{3\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} + 2\pi k \le x \le \frac{3\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} + 2\pi k$

В результате получаем:

$-\frac{\pi}{6} + 2\pi k \le x \le \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$

Таким образом, функция $y = \sin(x - \frac{\pi}{3})$ возрастает на промежутках $[-\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{5\pi}{6} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $[-\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{5\pi}{6} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) убывает?

Функция $y = \sin(t)$ убывает на промежутках, где её значение уменьшается от 1 до -1. Стандартный промежуток убывания для синуса — это $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$. С учетом периодичности, все промежутки убывания имеют вид $[\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Подставим наш аргумент $t = x - \frac{\pi}{3}$ и решим соответствующее двойное неравенство:

$\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le x - \frac{\pi}{3} \le \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$

Прибавим $\frac{\pi}{3}$ ко всем частям неравенства:

$\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + 2\pi k \le x \le \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + 2\pi k$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{3\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} + 2\pi k \le x \le \frac{9\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} + 2\pi k$

В результате получаем:

$\frac{5\pi}{6} + 2\pi k \le x \le \frac{11\pi}{6} + 2\pi k$

Таким образом, функция $y = \sin(x - \frac{\pi}{3})$ убывает на промежутках $[\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \frac{11\pi}{6} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $[\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \frac{11\pi}{6} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.