Номер 16.10, страница 103, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

16.10. а) $y = \sin \left(x - \frac{\pi}{4}\right) + 1;$

б) $y = \sin \left(x + \frac{\pi}{3}\right) - 1.$

а) $y = \sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+1$

График данной функции можно получить из графика базовой функции $y=\sin(x)$ с помощью двух последовательных преобразований — параллельных переносов (сдвигов).

Первое преобразование — это сдвиг по горизонтали (вдоль оси Ox). Наличие в аргументе синуса выражения $\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ означает, что график функции $y=\sin(x)$ необходимо сдвинуть на $\frac{\pi}{4}$ единиц вправо. В результате этого сдвига мы получаем график промежуточной функции $y_1 = \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$.

Второе преобразование — это сдвиг по вертикали (вдоль оси Oy). Прибавление числа 1 ко всей функции означает, что полученный на предыдущем шаге график $y_1 = \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ необходимо сдвинуть на 1 единицу вверх.

Таким образом, график функции $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) + 1$ — это график функции $y=\sin(x)$, смещенный на $\frac{\pi}{4}$ вправо и на 1 вверх. Иными словами, это параллельный перенос на вектор $\vec{v}\left(\frac{\pi}{4}; 1\right)$.

Основные свойства функции: область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$; область значений $E(y) = [0; 2]$, так как $-1 \le \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) \le 1$, то $-1+1 \le y \le 1+1$; основной период $T = 2\pi$.

Ответ: График функции $y=\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+1$ получается из графика функции $y=\sin(x)$ путем его сдвига на $\frac{\pi}{4}$ вправо по оси Ox и на 1 вверх по оси Oy.

б) $y = \sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)-1$

График данной функции можно получить из графика базовой функции $y=\sin(x)$ с помощью двух последовательных преобразований — параллельных переносов (сдвигов).

Первое преобразование — это сдвиг по горизонтали (вдоль оси Ox). Наличие в аргументе синуса выражения $\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$ означает, что график функции $y=\sin(x)$ необходимо сдвинуть на $\frac{\pi}{3}$ единиц влево. В результате этого сдвига мы получаем график промежуточной функции $y_1 = \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$.

Второе преобразование — это сдвиг по вертикали (вдоль оси Oy). Вычитание числа 1 из всей функции означает, что полученный на предыдущем шаге график $y_1 = \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$ необходимо сдвинуть на 1 единицу вниз.

Таким образом, график функции $y = \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) - 1$ — это график функции $y=\sin(x)$, смещенный на $\frac{\pi}{3}$ влево и на 1 вниз. Иными словами, это параллельный перенос на вектор $\vec{v}\left(-\frac{\pi}{3}; -1\right)$.

Основные свойства функции: область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$; область значений $E(y) = [-2; 0]$, так как $-1 \le \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) \le 1$, то $-1-1 \le y \le 1-1$; основной период $T = 2\pi$.

Ответ: График функции $y=\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)-1$ получается из графика функции $y=\sin(x)$ путем его сдвига на $\frac{\pi}{3}$ влево по оси Ox и на 1 вниз по оси Oy.