Номер 16.7, страница 102, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

16.7. Найдите все значения $x$, при которых заданному промежутку принадлежит только одно целое число; укажите это число:

а) $(5 - 2 \sin x; 5 + 2 \sin x)$;

б) $[4 + 2 \cos x; 4 - 2 \cos x]$.

a) $(5 - 2 \sin x; 5 + 2 \sin x)$

Заданный промежуток является открытым интервалом. Для того чтобы интервал был определен, его левый конец должен быть меньше правого: $5 - 2 \sin x < 5 + 2 \sin x$. Это неравенство равносильно $4 \sin x > 0$, откуда следует, что $\sin x > 0$.

Центром интервала является число $\frac{(5 - 2 \sin x) + (5 + 2 \sin x)}{2} = 5$. Поскольку интервал симметричен относительно 5, единственным целым числом, которое может в нем содержаться, является 5.

Условие того, что число 5 принадлежит интервалу, имеет вид $5 - 2 \sin x < 5 < 5 + 2 \sin x$. Оба неравенства ($5 - 2 \sin x < 5$ и $5 < 5 + 2 \sin x$) сводятся к условию $\sin x > 0$.

Чтобы в интервале не было других целых чисел, ближайшие к 5 целые числа, то есть 4 и 6, не должны в него входить. Это означает, что левая граница интервала должна быть не меньше 4, а правая — не больше 6:

$5 - 2 \sin x \geq 4$
$5 + 2 \sin x \leq 6$

Решим эти неравенства относительно $\sin x$:

Из первого неравенства получаем $1 \geq 2 \sin x$, то есть $\sin x \leq \frac{1}{2}$.

Из второго неравенства получаем $2 \sin x \leq 1$, то есть $\sin x \leq \frac{1}{2}$.

Объединяя все полученные условия, приходим к двойному неравенству: $0 < \sin x \leq \frac{1}{2}$.

Решением этого тригонометрического неравенства является объединение промежутков, которое можно найти, рассмотрев единичную окружность. Решения находятся в первом и втором квадрантах:

$x \in (2\pi k, \frac{\pi}{6} + 2\pi k] \cup [\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \pi + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Единственное целое число в заданном промежутке при этих значениях $x$ — это 5.

Ответ: $x \in (2\pi k, \frac{\pi}{6} + 2\pi k] \cup [\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \pi + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$; целое число 5.

б) $[4 + 2 \cos x; 4 - 2 \cos x]$

Заданный промежуток является отрезком (замкнутым интервалом). Для того чтобы отрезок был определен, его левый конец не должен превышать правый: $4 + 2 \cos x \leq 4 - 2 \cos x$. Это неравенство равносильно $4 \cos x \leq 0$, откуда $\cos x \leq 0$.

Центром отрезка является число $\frac{(4 + 2 \cos x) + (4 - 2 \cos x)}{2} = 4$. Следовательно, если в отрезке есть только одно целое число, то это число 4.

Условие того, что число 4 принадлежит отрезку, имеет вид $4 + 2 \cos x \leq 4 \leq 4 - 2 \cos x$, что эквивалентно условию $\cos x \leq 0$.

Чтобы в отрезке не было других целых чисел, ближайшие к 4 целые числа, то есть 3 и 5, не должны в него входить. Так как отрезок замкнутый, его левая граница должна быть строго больше 3, а правая — строго меньше 5:

$4 + 2 \cos x > 3$
$4 - 2 \cos x < 5$

Решим эти неравенства относительно $\cos x$:

Из первого неравенства получаем $2 \cos x > -1$, то есть $\cos x > -\frac{1}{2}$.

Из второго неравенства получаем $-1 < 2 \cos x$, что также дает $\cos x > -\frac{1}{2}$.

Объединяя все условия, получаем двойное неравенство: $-\frac{1}{2} < \cos x \leq 0$.

Решением этого тригонометрического неравенства является объединение промежутков. На единичной окружности это соответствует дугам во втором и третьем квадрантах:

$x \in [\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{2\pi}{3} + 2\pi k) \cup (\frac{4\pi}{3} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Единственное целое число в заданном промежутке при этих значениях $x$ — это 4.

Ответ: $x \in [\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{2\pi}{3} + 2\pi k) \cup (\frac{4\pi}{3} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$; целое число 4.