Номер 16.8, страница 102, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

16.8. Постройте график функции:

а) $y = \sin \left( x - \frac{\pi}{3} \right);$

б) $y = \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right);$

в) $y = \sin (x - \pi);$

г) $y = \sin \left( x + \frac{\pi}{3} \right).$

а) $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$

Для построения графика этой функции необходимо выполнить горизонтальный сдвиг (сдвиг по фазе) графика базовой функции $y = \sin(x)$. Общее правило для преобразования вида $y = f(x - c)$ заключается в сдвиге графика $y=f(x)$ вдоль оси абсцисс (Ox). Если $c > 0$, сдвиг происходит вправо, а если $c < 0$ — влево.

В данном случае $c = \frac{\pi}{3}$. Поскольку $c > 0$, график функции $y = \sin(x)$ необходимо сдвинуть на $\frac{\pi}{3}$ единиц вправо вдоль оси абсцисс. Например, точка $(0, 0)$ на исходной синусоиде переместится в точку $\left(\frac{\pi}{3}, 0\right)$, а точка максимума $\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)$ переместится в точку $\left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3}, 1\right) = \left(\frac{5\pi}{6}, 1\right)$.

Ответ: График функции $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$ получается из графика функции $y = \sin(x)$ путем его сдвига вдоль оси абсцисс на $\frac{\pi}{3}$ вправо.

б) $y = \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$

Для построения этого графика преобразуем график функции $y = \sin(x)$. Функцию можно представить в виде $y = \sin\left(x - \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)$. Это горизонтальный сдвиг, где константа сдвига $c = -\frac{\pi}{4}$.

Поскольку $c < 0$, сдвиг происходит влево на величину $|c| = \frac{\pi}{4}$. Таким образом, для получения искомого графика нужно сдвинуть график $y = \sin(x)$ на $\frac{\pi}{4}$ единиц влево вдоль оси абсцисс. Например, точка $(0, 0)$ переместится в точку $\left(-\frac{\pi}{4}, 0\right)$, а точка максимума $\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)$ переместится в точку $\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}, 1\right) = \left(\frac{\pi}{4}, 1\right)$.

Ответ: График функции $y = \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ получается из графика функции $y = \sin(x)$ путем его сдвига вдоль оси абсцисс на $\frac{\pi}{4}$ влево.

в) $y = \sin(x - \pi)$

Построение графика этой функции можно выполнить двумя способами. Первый способ — это сдвиг графика $y = \sin(x)$. В выражении $y = \sin(x - \pi)$ константа сдвига $c = \pi$. Так как $c > 0$, график $y = \sin(x)$ сдвигается на $\pi$ единиц вправо.

Второй способ — использование формул приведения. Согласно тригонометрическому тождеству, $\sin(x - \pi) = -\sin(x)$. Это означает, что график функции $y = \sin(x - \pi)$ полностью совпадает с графиком функции $y = -\sin(x)$. График $y = -\sin(x)$ получается из графика $y = \sin(x)$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс (оси Ox). Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: График функции $y = \sin(x - \pi)$ получается из графика функции $y = \sin(x)$ путем его сдвига вдоль оси абсцисс на $\pi$ вправо, что эквивалентно симметричному отражению относительно оси абсцисс.

г) $y = \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$

Для построения графика этой функции выполним горизонтальный сдвиг графика $y = \sin(x)$. Функцию можно записать как $y = \sin\left(x - \left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)$, где константа сдвига $c = -\frac{\pi}{3}$.

Поскольку $c < 0$, сдвиг выполняется влево на величину $|c| = \frac{\pi}{3}$. Следовательно, график $y = \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$ получается сдвигом графика $y = \sin(x)$ на $\frac{\pi}{3}$ единиц влево вдоль оси абсцисс. Например, точка $(0, 0)$ переместится в точку $\left(-\frac{\pi}{3}, 0\right)$, а точка максимума $\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)$ переместится в точку $\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}, 1\right) = \left(\frac{\pi}{6}, 1\right)$.

Ответ: График функции $y = \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$ получается из графика функции $y = \sin(x)$ путем его сдвига вдоль оси абсцисс на $\frac{\pi}{3}$ влево.