Номер 16.1, страница 101, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

16.1. Найдите значение функции:

а) $y = 2 \sin \left(x - \frac{\pi}{6}\right) + 1$ при $x = \frac{4\pi}{3}$;

б) $y = -\sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ при $x = -\frac{\pi}{2}$;

в) $y = 2 \sin \left(x - \frac{\pi}{6}\right) + 1$ при $x = \frac{7\pi}{6}$;

г) $y = -\sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ при $x = -\frac{15\pi}{4}$.

а)

Для того чтобы найти значение функции $y = 2 \sin(x - \frac{\pi}{6}) + 1$ при $x = \frac{4\pi}{3}$, подставим значение $x$ в уравнение:

$y = 2 \sin(\frac{4\pi}{3} - \frac{\pi}{6}) + 1$

Сначала вычислим значение выражения в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю 6:

$\frac{4\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{2 \cdot 4\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{8\pi - \pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$

Теперь уравнение выглядит так:

$y = 2 \sin(\frac{7\pi}{6}) + 1$

Найдем значение $\sin(\frac{7\pi}{6})$. Угол $\frac{7\pi}{6}$ можно представить как $\pi + \frac{\pi}{6}$. Это угол в третьей четверти, где синус отрицателен.

$\sin(\frac{7\pi}{6}) = \sin(\pi + \frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$

Подставим найденное значение синуса обратно в уравнение:

$y = 2 \cdot (-\frac{1}{2}) + 1 = -1 + 1 = 0$

Ответ: 0.

б)

Для того чтобы найти значение функции $y = -\sin(x + \frac{\pi}{4})$ при $x = -\frac{\pi}{2}$, подставим значение $x$ в уравнение:

$y = -\sin(-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4})$

Упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю 4:

$-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = -\frac{2\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4}$

Теперь уравнение выглядит так:

$y = -\sin(-\frac{\pi}{4})$

Воспользуемся свойством нечетности функции синус: $\sin(-a) = -\sin(a)$.

$y = -(-\sin(\frac{\pi}{4})) = \sin(\frac{\pi}{4})$

Значение синуса от $\frac{\pi}{4}$ является табличным:

$\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Следовательно, $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

в)

Для того чтобы найти значение функции $y = 2 \sin(x - \frac{\pi}{6}) + 1$ при $x = \frac{7\pi}{6}$, подставим значение $x$ в уравнение:

$y = 2 \sin(\frac{7\pi}{6} - \frac{\pi}{6}) + 1$

Вычислим значение выражения в скобках:

$\frac{7\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi}{6} = \pi$

Теперь уравнение выглядит так:

$y = 2 \sin(\pi) + 1$

Значение синуса от $\pi$ равно 0:

$\sin(\pi) = 0$

Подставим это значение в уравнение:

$y = 2 \cdot 0 + 1 = 1$

Ответ: 1.

г)

Для того чтобы найти значение функции $y = -\sin(x + \frac{\pi}{4})$ при $x = -\frac{15\pi}{4}$, подставим значение $x$ в уравнение:

$y = -\sin(-\frac{15\pi}{4} + \frac{\pi}{4})$

Упростим выражение в скобках:

$-\frac{15\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = -\frac{14\pi}{4} = -\frac{7\pi}{2}$

Теперь уравнение выглядит так:

$y = -\sin(-\frac{7\pi}{2})$

Воспользуемся свойством нечетности функции синус: $\sin(-a) = -\sin(a)$.

$y = -(-\sin(\frac{7\pi}{2})) = \sin(\frac{7\pi}{2})$

Функция синус периодична с периодом $2\pi$. Мы можем прибавить или отнять $2\pi$ от аргумента, не меняя значения функции. $2\pi = \frac{4\pi}{2}$.

$\sin(\frac{7\pi}{2}) = \sin(\frac{3\pi}{2} + \frac{4\pi}{2}) = \sin(\frac{3\pi}{2} + 2\pi) = \sin(\frac{3\pi}{2})$

Значение синуса от $\frac{3\pi}{2}$ равно -1:

$\sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$

Следовательно, $y = -1$.

Ответ: -1.