Номер 15.18, страница 100, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

15.18. a) $\sin^2 1^\circ + \sin^2 2^\circ + \sin^2 3^\circ + \dots + \sin^2 90^\circ;$

б) $\cos^2 1^\circ + \cos^2 2^\circ + \cos^2 3^\circ + \dots + \cos^2 180^\circ.$

а)

Для вычисления суммы $S_a = \sin^2 1^\circ + \sin^2 2^\circ + \sin^2 3^\circ + \dots + \sin^2 90^\circ$ воспользуемся формулой приведения $\sin \alpha = \cos(90^\circ - \alpha)$. Возведя обе части в квадрат, получим $\sin^2 \alpha = \cos^2(90^\circ - \alpha)$.

Сумма содержит 90 слагаемых. Сгруппируем их попарно, объединяя первое слагаемое с последним, второе с предпоследним и так далее:

$S_a = (\sin^2 1^\circ + \sin^2 89^\circ) + (\sin^2 2^\circ + \sin^2 88^\circ) + \dots + (\sin^2 44^\circ + \sin^2 46^\circ) + \sin^2 45^\circ + \sin^2 90^\circ$.

Рассмотрим сумму в каждой паре. Например, для первой пары:

$\sin^2 89^\circ = \sin^2(90^\circ - 1^\circ) = \cos^2 1^\circ$.

Тогда сумма в скобках равна $\sin^2 1^\circ + \cos^2 1^\circ = 1$, согласно основному тригонометрическому тождеству.

Аналогично, сумма в каждой из пар $(\sin^2 k^\circ + \sin^2(90^\circ - k^\circ))$ будет равна 1. Таких пар можно составить для $k$ от 1 до 44, то есть всего 44 пары. Их общая сумма составит $44 \times 1 = 44$.

После суммирования пар у нас остались два слагаемых, которые не вошли в пары: $\sin^2 45^\circ$ и $\sin^2 90^\circ$.

Вычислим их значения:

$\sin^2 45^\circ = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$\sin^2 90^\circ = 1^2 = 1$

Теперь найдем итоговую сумму, сложив сумму пар и оставшиеся слагаемые:

$S_a = 44 + \frac{1}{2} + 1 = 45.5$.

Ответ: $45.5$

б)

Рассмотрим сумму $S_b = \cos^2 1^\circ + \cos^2 2^\circ + \cos^2 3^\circ + \dots + \cos^2 180^\circ$.

Сумма состоит из 180 слагаемых. Разобьем ее на две части: слагаемые от 1° до 90° и слагаемые от 91° до 180°.

$S_b = (\cos^2 1^\circ + \cos^2 2^\circ + \dots + \cos^2 90^\circ) + (\cos^2 91^\circ + \cos^2 92^\circ + \dots + \cos^2 180^\circ)$.

Для преобразования второй части суммы воспользуемся формулой приведения $\cos(90^\circ + \alpha) = -\sin \alpha$. Возведя в квадрат, получим $\cos^2(90^\circ + \alpha) = \sin^2 \alpha$.

Применим эту формулу к каждому слагаемому во второй скобке:

$\cos^2 91^\circ = \cos^2(90^\circ + 1^\circ) = \sin^2 1^\circ$

$\cos^2 92^\circ = \cos^2(90^\circ + 2^\circ) = \sin^2 2^\circ$

...

$\cos^2 180^\circ = \cos^2(90^\circ + 90^\circ) = \sin^2 90^\circ$

Таким образом, вторая часть исходной суммы равна $\sin^2 1^\circ + \sin^2 2^\circ + \dots + \sin^2 90^\circ$.

Подставим это выражение обратно в $S_b$:

$S_b = (\cos^2 1^\circ + \cos^2 2^\circ + \dots + \cos^2 90^\circ) + (\sin^2 1^\circ + \sin^2 2^\circ + \dots + \sin^2 90^\circ)$.

Теперь сгруппируем слагаемые с одинаковыми углами:

$S_b = (\cos^2 1^\circ + \sin^2 1^\circ) + (\cos^2 2^\circ + \sin^2 2^\circ) + \dots + (\cos^2 90^\circ + \sin^2 90^\circ)$.

Сумма в каждой скобке, согласно основному тригонометрическому тождеству $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$, равна единице.

Всего у нас 90 таких скобок (для углов от 1° до 90°). Следовательно, общая сумма равна:

$S_b = \underbrace{1 + 1 + \dots + 1}_{90 \text{ слагаемых}} = 90$.

Ответ: $90$