Номер 15.15, страница 100, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

15.15. Использовав геометрические соображения, вычислите:

а) $\sin 15^\circ$ и $\cos 15^\circ$;

б) $\sin 22.5^\circ$ и $\cos 22.5^\circ$.

а) sin 15° и cos 15°

Для вычисления значений $\sin 15^\circ$ и $\cos 15^\circ$ используем геометрический метод.

1. Построим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$, $\angle CAB = 30^\circ$ и $\angle CBA = 60^\circ$. Для удобства вычислений примем длину катета $BC$, противолежащего углу $30^\circ$, равной 1. Тогда гипотенуза $AB=2$, а катет $AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$.

2. Продлим сторону $AC$ за точку $A$ и отложим на продолжении отрезок $AD$, равный гипотенузе $AB$. Таким образом, $AD = 2$.

3. Соединим точки $D$ и $B$. Рассмотрим треугольник $ADB$. Он является равнобедренным, так как $AD=AB=2$. Угол $\angle DAB$ является внешним углом для угла $\angle CAB$, поэтому $\angle DAB = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$. Углы при основании $DB$ треугольника $ADB$ равны: $\angle ADB = \angle ABD = (180^\circ - 150^\circ) / 2 = 15^\circ$.

4. Теперь рассмотрим большой прямоугольный треугольник $DCB$. Угол $\angle C$ в нем прямой, а угол $\angle CDB = 15^\circ$. Найдем длины его сторон. Катет $BC = 1$. Катет $DC = DA + AC = 2 + \sqrt{3}$.

5. По теореме Пифагора найдем гипотенузу $DB$: $DB^2 = DC^2 + BC^2 = (2 + \sqrt{3})^2 + 1^2 = (4 + 4\sqrt{3} + 3) + 1 = 8 + 4\sqrt{3}$. $DB = \sqrt{8 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{8 + 2\sqrt{12}}$. Для упрощения корня воспользуемся тем, что $8 = 6+2$ и $12=6 \cdot 2$. Следовательно, $DB = \sqrt{6} + \sqrt{2}$.

6. Теперь, зная все стороны прямоугольного треугольника $DCB$, можем найти синус и косинус угла $15^\circ$: $\sin 15^\circ = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC}{DB} = \frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$. Избавимся от иррациональности в знаменателе: $\sin 15^\circ = \frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{6 - 2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.

$\cos 15^\circ = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{DC}{DB} = \frac{2 + \sqrt{3}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$. Упростим выражение: $\cos 15^\circ = \frac{2 + \sqrt{3}}{\sqrt{2}(\sqrt{3} + 1)} = \frac{(2 + \sqrt{3})(\sqrt{3} - 1)}{\sqrt{2}(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{2\sqrt{3} - 2 + 3 - \sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3} + 1)\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.

Ответ: $\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$, $\cos 15^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.

б) sin 22,5° и cos 22,5°

Для вычисления значений $\sin 22,5^\circ$ и $\cos 22,5^\circ$ используем тот факт, что $22,5^\circ$ — это половина от $45^\circ$.

1. Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$ и углами при гипотенузе $\angle A = \angle B = 45^\circ$. Пусть длина катетов $AC = BC = 1$. Тогда по теореме Пифагора гипотенуза $AB = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

2. Проведем биссектрису $BD$ угла $B$. Она делит угол $B$ на два равных угла, так что $\angle CBD = 45^\circ / 2 = 22,5^\circ$. Точка $D$ лежит на катете $AC$.

3. По свойству биссектрисы угла в треугольнике, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: $\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC}$. Подставим известные длины: $\frac{AD}{DC} = \frac{\sqrt{2}}{1}$, откуда $AD = DC \cdot \sqrt{2}$.

4. Так как $AD + DC = AC = 1$, мы можем найти $DC$: $DC \cdot \sqrt{2} + DC = 1 \implies DC(\sqrt{2} + 1) = 1 \implies DC = \frac{1}{\sqrt{2} + 1}$. Умножив числитель и знаменатель на $(\sqrt{2} - 1)$, получим: $DC = \sqrt{2} - 1$.

5. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $DBC$. Мы знаем длины его катетов: $BC=1$ и $DC = \sqrt{2}-1$. Найдем гипотенузу $BD$ по теореме Пифагора: $BD^2 = BC^2 + DC^2 = 1^2 + (\sqrt{2} - 1)^2 = 1 + (2 - 2\sqrt{2} + 1) = 4 - 2\sqrt{2}$. $BD = \sqrt{4 - 2\sqrt{2}}$.

6. В прямоугольном треугольнике $DBC$ угол $\angle CBD = 22,5^\circ$. Вычислим его синус и косинус: $\sin 22,5^\circ = \frac{DC}{BD} = \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{4 - 2\sqrt{2}}}$. Чтобы упростить, возведем в квадрат: $(\sin 22,5^\circ)^2 = \frac{(\sqrt{2}-1)^2}{4-2\sqrt{2}} = \frac{3-2\sqrt{2}}{2(2-\sqrt{2})}$. Так как $3-2\sqrt{2} = (\sqrt{2}-1)^2$ и $2-\sqrt{2} = \sqrt{2}(\sqrt{2}-1)$, то: $(\sin 22,5^\circ)^2 = \frac{(\sqrt{2}-1)^2}{2\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)} = \frac{\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{2}-1)\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \frac{2-\sqrt{2}}{4}$. Извлекая корень, получаем: $\sin 22,5^\circ = \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$.

$\cos 22,5^\circ = \frac{BC}{BD} = \frac{1}{\sqrt{4 - 2\sqrt{2}}}$. Возведем в квадрат: $(\cos 22,5^\circ)^2 = \frac{1}{4 - 2\sqrt{2}} = \frac{1}{2(2-\sqrt{2})}$. Умножим числитель и знаменатель на $(2+\sqrt{2})$: $(\cos 22,5^\circ)^2 = \frac{2+\sqrt{2}}{2(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})} = \frac{2+\sqrt{2}}{2(4-2)} = \frac{2+\sqrt{2}}{4}$. Извлекая корень, получаем: $\cos 22,5^\circ = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$.

Ответ: $\sin 22,5^\circ = \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$, $\cos 22,5^\circ = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$.